Polinomlarla yaklaşık olarak zor olan sürekli bir fonksiyon örneği

16

Öğretim amaçları için, polinomlarla yaklaşık "zor" olan tek bir değişkenin sürekli bir fonksiyonuna ihtiyacım olacaktı, yani bir güç serisinde bu fonksiyona iyi uyum sağlamak için çok yüksek güçlere ihtiyaç duyacağım. Öğrencilerime kuvvet serisiyle elde edilebileceklerin “sınırlarını” göstermek niyetindeyim.

"Gürültülü" bir şeyi uydurmayı düşündüm, ama kendimi yuvarlamak yerine, insanların yaklaşık olarak çok sayıda olan optimizasyon testi fonksiyonlarına benzer şekilde, yaklaşık olarak yakınlaştırma / enterpolasyon algoritmalarını test etmek için kullandıkları bir çeşit standart "zor fonksiyon" olup olmadığını merak ediyorum. saf algoritmaların kolayca sıkıştığı yerel minima.

Bu soru iyi biçimlendirilmemişse özür dileriz; Lütfen matematikçi olmayan birine merhamet edin.

interpolation

— Laryx Decidua
kaynak

14

Neden sadece mutlak değer işlevini göstermiyorsunuz?

Örneğin Legendre-polinom genişlemesi ile yakınlaşma işe yarar, ancak oldukça kötü :

Taylor genişlemesi elbette tamamen işe yaramaz, her zaman sadece doğrusal bir işlev verir, her zaman azalır veya her zaman artar (genişlettiğiniz noktanın negatif veya pozitif olmasına bağlı olarak).

— leftaroundabout
kaynak

Enterpolasyon yapabilirsiniz | x | Chebyshev enterpolasyonunu kullanarak nbviewer.jupyter.org/github/cpraveen/na/blob/master/… 'a bakın . Örneğin, koddaki N = 2 * i değerini N = 15 + i olarak değiştirebilir ve daha büyük bir derece test edebilirsiniz. Bir genişleme yöntemi değil, yine de polinomlara dayanmaktadır.

— cfdlab

@PraveenChandrashekar Chebyshev “daha iyi” çalışır, çünkü fonksiyonun düzgün olduğu aralığın dış kısımlarına daha fazla ağırlık verir. Böylece aşırı salınımdan kaçınılır, ancak işleve daha iyi yaklaştığını söylemek şüphelidir - özellikle 0'daki keskin dönüşü eşit-ayrık noktalardan veya minimasyondan daha kötü yakalar. Hedefiniz yüksek frekanslı bileşenlerden kaçınmaksa, bu bileşenleri düzgün bir şekilde sönümleyen entegre bir dönüşümü daha iyi kullanın.

x = 0

$x=0$

L^{2}

$L^2$

— leftaroundabout

Chebyshev enterpolasyonunda olduğu gibi düzgün olmayan noktalara sahip olmak mükemmel bir şekilde iyidir. Yaklaşık 20 dereceyle, yayınınızda gösterdiğiniz Legendre'dan çok daha doğru bir yaklaşım sağlar. Hataları daha nicel olarak ölçün. Ayrıca Chebyshev serisi yaklaşımını | x | bu Legendre genişlemesinden daha doğrudur.

— cfdlab

Nokta polinomları olmasıdır @PraveenChandrashekar prensipte gibi bir işlevi yaklaşmak mümkün değildiuygun şekilde. Her biri biraz daha az ya da çok başarısız olan farklı yöntemler vardır, ancak hiçbiri “sadece birkaç terim orijinal işlevle karıştırılabilecek bir şey verir” anlamında iyi çalışmaz . Polinomları kullanmanız gerekiyorsa, hangi tür hataların daha sorunlu olduğunu düşünmeniz gerekir, Legendre ve Chebyshev'in her ikisi de kullanım durumlarına sahiptir, ancak gümüş mermi yoktur. Sonuçta, örneğin spline ile bir yaklaşım tipik olarak daha etkilidir.

x \mapsto | x |

$x \mapsto |x|$

— leftaroundabout

Mükemmel bir yöntem olmadığını biliyoruz. Soru, polinomların yaklaşık olarak hangi fonksiyonların yaklaşık olarak zor olduğudur. Bu yüzden, hiçbirinin iyi bir iş yapmadığı sonucuna varmak için polinomları içeren tüm olası yöntemleri görmek gerekir. Legendre yaklaşık olarak en iyi yöntem değildir | x | ve bu nedenle polinomların | x | için çok kötü olduğuna dair oldukça yanlış bir izlenim bırakıyor. Chebyshev ile Legendre'den yakınsama ve çok daha iyi yaklaşımlara sahipsiniz, fonksiyonun yeterince pürüzsüz olmadığı yerlerde x = 0 yakınında yavaşça birleşirken, Legendre kadar o kadar kötü salınmazlar.

— cfdlab

10

$|x|$

— Wolfgang Bangerth
kaynak

Teşekkürler, tam olarak "Gürültülü" bir şey düşündüm "demek istediğim budur. Çok iyi bir örnek IMO.

— Laryx Decidua

6

Yaklaştırma, yalnızca yaklaşılacak fonksiyon ile değil, yaklaĢımın “iyi uyum” olması gereken aralıkla zorlaştırılır. Ve "iyi bir uyum" için önlemi tanımlamalısınız, yani tolere etmek istediğiniz maksimum (mutlak veya göreceli) hata nedir?

$\exp(x)$ $[0,10]$ $\sin(x)$ $[0,2\pi]$

— GertVdE
kaynak

Kursumda, Taylor genişlemesinin yaklaşık fonksiyonlar için iyi bir yöntem olmadığını vurgulamak için bu tür örnekleri gösteriyorum.

— cfdlab

6

Polinomlar fonksiyon yaklaşımında şaşırtıcı derecede etkilidir [1]. En azından Lipschitz sürekliliğiniz varsa, Chebyshev yaklaşımları birleşecektir. Tabii ki, yakınsama yavaş olabilir ve pürüzsüz olmayan bir işlevle uğraşmak için ödediğimiz fiyat budur.

Günümüzde bilgisayarlar, birçok sayısal analiz kitabının yazıldığı günlerden çok daha hızlıdır ve akıllı algoritmalar hızı daha da artırmıştır, böylece daha fazla terim kullanmak eskisi kadar kötü olmayabilir.

Weierstrass canavar işlevi gibi patolojik örnekler teorik açıdan ilginçtir, ancak çoğu gerçek uygulama bağlamını temsil etmezler.

$|x|$ $x=0$

Polinomlarla yaklaşımdaki zorlukları öğretmek önemlidir, ancak öğrencilere bu sorunlarla başa çıkabilen hata tahminleri ve uyarlanabilir algoritmalar oluşturabileceğimizi söylemek de önemlidir.

[1] https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/mythspaper.pdf

[2] http://www.chebfun.org

— cfdlab
kaynak

IMO konusunun çok iyi bir anketi Lloyd Trefethen tarafından "mit kağıdı" bağlamak için +1, teşekkürler.

— Laryx Decidua

2

$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

$\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+x^{12} - \ldots$

$-1<x<1$ $x=0$ $x=2$

— Christopher Wells
kaynak

0

$y = sin(x)$

— Aniruddha Acharya
kaynak

y = \sin (\frac{1}{x})

$y=\sin(\frac{1}{x})$