Monte Carlo entegrasyonu hangi koşullarda yarı-Monte Carlo'dan daha iyidir?

Yeterince basit bir soru: bir çeşit Monte Carlo yönteminin uygun olduğuna karar verdiği göz önüne alındığında, çok boyutlu bir integral yapmak, psödondom sayılarını kullanan düzenli bir MC entegrasyonunun, bir quasirandom sekansı kullanan bir yarı Monte Carlo entegrasyonuna göre herhangi bir avantajı vardır. ? Öyleyse, bu avantajın devreye gireceği durumları nasıl tanıyabilirim? (Değilse, neden hiç kimse düz eski Monte Carlo entegrasyonunu kullanıyor?)

Monte Carlo simülasyonları elektron saçılımının hesaplanması için tercih edilen yöntemdir. Önem örneklemesi gibi hileler bazen kullanılır, bu yüzden düz eski Monte Carlo olmadığını söyleyebilirsiniz. Ancak asıl mesele, burada sadece doğal olarak stokastik bir sürecin simüle edilmesi, sadece entegrasyon için Monte Carlo'nun kullanılmasını sormaktır.

Kimse bir cevap sunmaya çalışmadığından, cevabımı biraz genişletmeye çalışayım. Bir geri saçılma katsayısı gibi sadece tek bir sayının hesaplandığı bir elektron saçılım simülasyonuna sahip olduğumuzu varsayalım. Eğer bunu çok boyutlu bir integral olarak yeniden formüle edersek, muhtemelen sonsuz boyutlu bir integral olur. Öte yandan, tek bir yörüngenin simülasyonu sırasında, sadece sınırlı sayıda rastgele sayı gereklidir (ikincil elektron üretimi dikkate alınırsa bu sayı oldukça büyüyebilir). Latin hiperküp örneklemesi gibi bir quasirandom sekansı kullanırsak, sabit sayıda boyuta sahip bir yaklaşım kullanmalı ve her numune noktası için her boyut için rastgele bir sayı üretmeliyiz.

Bu yüzden farkın, bir tür yüksek boyutlu birim-hiperküpün örneklenip örneklenmediği, köken etrafında sonsuz boyutlu olasılık bulutuna karşı olduğunu düşünüyorum.

Araştırmalarımdan bazıları büyük ölçekli stokastik kısmi diferansiyel denklemleri çözmeyi içeriyor. Bu durumda, ilgilenilen integralin geleneksel monte carlo yaklaşımı pratik anlamda değerli olması için çok yavaş bir şekilde birleşir ... yani ondalık bir noktadan daha fazla doğruluk elde etmek için 100 kat daha fazla simülasyon çalıştırmak istemiyorum integrale. Bunun yerine, daha az fonksiyon değerlendirmesinde daha iyi doğruluk sundukları için seyrek smolyak ızgaraları gibi diğer yöntemleri kullanma eğilimindeyim. Bu sadece mümkün çünkü fonksiyonda belirli bir pürüzsüzlük derecesi alabilirim.

Entegre ettiğiniz işlevin belirli bir yapıya (pürüzsüzlük gibi) sahip olmasını beklerseniz, onu kullanan yarı monte carlo şemasını kullanmak en iyisi olacaktır. İşlev hakkında gerçekten çok fazla varsayım yapamıyorsanız, monte carlo, ele almayı düşünebileceğim tek araçtır.

Geleneksel Monte-Carlo entegrasyonunun yarı Monte Monte entegrasyonuna göre avantajları burada Kocis ve Whiten'in makalesinde tartışılmıştır . Aşağıdaki nedenleri listeler:

• $\mathcal{O}(\log(N)^{d}/N)$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$N$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$d \approx 40$$d$

• $$\mathrm{error} \le V[f]D_{N}^{*}$$ $V[f]$$f$$D_{N}^{*}$

  Ne yazık ki, mevcut sekansların teorik tutarsızlığı orta ve büyük s değerleri için kullanılamaz. Diğer seçenek, büyük s için bir sekansın yıldız uyuşmazlığının sayısal bir değerlendirmesini, aşırı bir hesaplama çabası gerektirir ve bu tür tutarsızlıkların makul sayısal tahminlerinin elde edilmesi çok zordur.

  Geleneksel Monte-Carlo entegrasyonu ile bir hata hedefi belirleyebilir ve bekleyebiliriz çünkü hata bağlı kolayca hesaplanabilir. QMC ile, bir dizi fonksiyon değerlendirmesi belirlemeliyiz ve hatanın hedefimiz dahilinde olduğunu umuyoruz . (Hatayı tahmin etmek için çoklu yarı-Monte Carlo tahminlerinin kullanıldığı rastgele yarı-Monte Carlo gibi, bunun üstesinden gelmek için teknikler olduğunu unutmayın.)

• $\mathcal{O}(1/N^{1/2+2/d})$

• Yarı-Monte Carlo'nun geleneksel Monte-Carlo'yu yenmesi için integral "düşük etkili boyuta" sahip olmalıdır. Bu konuda Sanat Owen'ın kağıdı bakınız burada .