Süreksiz rs ODE'leri için sayısal yöntemler

15

süreksiz sağ tarafı olan ODE'lerin sayısal çözümü için son teknoloji yöntemler nelerdir? Çoğunlukla parçalı pürüzsüz sağ taraf fonksiyonlarıyla ilgileniyorum, örneğin işaret.

Aşağıdaki türdeki denklemi çözmeye çalışıyorum:

\begin{aligned} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = {\begin{cases} (| F_{external} | - | F_{friction} |) sign (F_{external}) & : | F_{external} | < | F_{friction} | \\ 0 & : otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \dot x &= v\\ \dot v &= \begin{cases} (|F_\text{external}| - |F_\text{friction}|) \mathop{\rm sign} (F_\text{external}) & :|F_\text{external}| < |F_\text{friction}|\\ 0 & : \text{otherwise} \end{cases} \end{align*}$

ode

— Andrey Shevlyakov
kaynak

Merhaba @AndreyShevlyakov ve Scicomp'a hoş geldiniz! İlgilendiğiniz belirli bir ODE sınıfı var mı?

— Paul

Merhaba Paul! Evet, şu anda bir çeşit yapışkan kayma modeli uygulamaya çalışıyorum.

— Andrey Shevlyakov

Çözmek istediğiniz denklemleri sorunuza dahil edebilir misiniz? Bu, sorununuz için geçerli olan belirli yöntemleri daraltmanıza yardımcı olacaktır.

— Paul

Ben yazılan örnek ekledik

— Andrey Shevlyakov

1

ACSL üzerinde çalıştığımda, bir kök bulucu içeriyordu, böylece hızın sıfıra eşit olduğu zamanı arayabilir ve daha sonra yeni rhs ile o noktadan yeni başlayabilirsiniz.

— Mike Dunlavey

13

Bkz David Stewart Bu konu, üzerinde 'ın yeni (2011) kitabı Etkileri ve Sabit Kısıtlamaları: Dinamikler Eşitsizlikler ile . Coulomb sürtünme problemleri analiz bölümlerinde birkaç kez belirtilmiştir.

$\mathcal{O}(h)$ $\mathcal{O}(h^{1/2})$ $\mathcal{O}(h)$ sıklıkla gözlenir.

— Jed Kahve
kaynak

Çok teşekkürler! Bir yerde mevcut uygulamalar olup olmadığını biliyor musunuz?

— Andrey Shevlyakov

Bildiğimden değil, ancak statik varyasyonel eşitsizlikler için bir çözücünüz varsa, basit şemaların uygulanması çok zor olmamalıdır.

— Jed Brown

10

Bildiğim en önemli referans, 20 yıldan daha eski olan David Stewart'ın tezidir:

Süreksiz Sağ Taraflı Adi Diferansiyel Denklemler için Yüksek Hassasiyetli Sayısal Yöntemler

Özet, daha önceki bazı önemli çalışmalara atıfta bulunmaktadır. Buradaki bir anahtar kelime, diferansiyel dahil etmektir .

— David Ketcheson
kaynak

2

Mike Dunlavey'nin bir yorumda daha önce işaret ettiği gibi, bu genellikle sıfır geçiş işlevleri , yani işlevler kullanılarak yapılır. $g(t, x(t)) \in \mathbb{R}$ o haç $>0$ için $<0$ (veya tam tersi) RHS'nin süreksizliği olduğunda.

Örneğin, bir bloğu olan hareketli bir kütleniz varsa, kütle ve blok arasındaki mesafe sıfır geçiş fonksiyonu olarak kullanılabilir.

Birçok ODE çözücüsü (örn. SUNDIALS CVODE), sıfır geçiş işlevlerinden herhangi birinin son zaman adımında işaretini değiştirip değiştirmediğini otomatik olarak kontrol eder. Bu durumda, kökün tam yerini belirlemek için bir kök bulma yöntemi kullanılır. Çözücü daha sonra bu belirli konumda yeniden başlatılabilir. Bu, çözücünün kendisi tarafından otomatik olarak veya arama kodu tarafından manuel olarak yapılır.

— Florian Brucker
kaynak

Arama amacıyla: "olay yeri" den de söz edilebilir; Hairer / Nørsett / Wanner bu konuda güzel bir tartışmaya sahip.

— JM