Bir ODE'nin sayısal çözümü neden kararsız bir dengeden uzaklaşıyor?

Çift sarkaçlı bir sistemin davranışını simüle etmek istiyorum. Sistem, harekete geçirilmeyen ve bu nedenle çoğunlukla yerçekiminden etkilenen bir çift sarkaç gibi davranacak olan 2 serbestlik dereceli bir robot manipülatördür. Çift sarkaçlı tek temel fark, kütle merkezlerinde kütle ve atalet özelliklerine sahip iki katı cisimden oluşmasıdır.

Temel olarak, ode45Matlab altında aşağıdaki türden bir ODE sistemini çözmek için programladım :

$$\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & M_{11} & 0 & M_{12}\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & M_{12} & 0 & M_{22} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\ \dot{x}_3\\ \dot{x}_4 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} x_2\\ -V_1-G_1\\ x_4\\ -V_2-G_2 \end{array} \right]$$

burada $x_1$ yataya göre birinci gövdenin açısı olan, $x_2$ , ilk gövdenin açısal hızıdır; $x_3$ birinci gövdesine göre ikinci gövdenin açısıdır ve $x_4$ ikinci gövdenin açısal hızıdır. Tüm katsayılar, oluşturduğum rhsve fMassfonksiyonlarında aşağıdaki kodda belirtilmiştir .

clear all
opts= odeset('Mass',@fMass,'MStateDependence','strong','MassSingular','no','OutputFcn',@odeplot);
sol = ode45(@(t,x) rhs(t,x),[0 5],[pi/2 0 0 0],opts);

function F=rhs(t,x)
    m=[1 1];
    l=0.5;
    a=[0.25 0.25];
    g=9.81;
    c1=cos(x(1));
    s2=sin(x(3));
    c12=cos(x(1)+x(3));
    n1=m(2)*a(2)*l;
    V1=-n1*s2*x(4)^2-2*n1*s2*x(2)*x(4);
    V2=n1*s2*x(2)^2;
    G1=m(1)*a(1)*g*c1+m(2)*g*(l*c1+a(2)*c12);
    G2=m(2)*g*a(2)*c12;

    F(1)=x(2);
    F(2)=-V1-G1;
    F(3)=x(4);
    F(4)=-V2-G2;
    F=F';     
end

function M=fMass(t,x)
    m=[1 1];
    l=0.5;
    Izz=[0.11 0.11];
    a=[0.25 0.25];
    c2=cos(x(3));
    n1=m(2)*a(2)*l;
    M11=m(1)*a(1)^2+Izz(1)+m(2)*(a(2)^2+l^2)+2*n1*c2+Izz(2);
    M12=m(2)*a(2)^2+n1*c2+Izz(2);
    M22=m(2)*a(2)^2+Izz(2);
    M=[1 0 0 0;0 M11 0 M12;0 0 1 0;0 M12 0 M22];
end

Sistemin tamamen dikey bir konumda başlaması için $x_1$ başlangıç ​​koşulunu (ilk gövdenin yataya göre açısı) nasıl ayarladığımı fark edin . Bu şekilde, sadece yerçekimi hareket ettiğinden, bariz sonuç sistemin bu konumdan hiç hareket etmemesi gerektiğidir.

NOT: aşağıdaki tüm grafiklerde, zamana göre $x_1$ ve $x_3$ çözümlerini çizdim .

ODE45

Simülasyonu 6 saniye boyunca çalıştırdığımda, ode45beklenen çözümü hiç sorun olmadan alıyorum, sistem olduğu yerde kalıyor ve hareket etmiyor:

Ancak, simülasyonu 10 saniye çalıştırdığımda, sistem mantıksız hareket etmeye başlar:

ODE23

Daha sonra ode23sorunun devam edip etmediğini görmek için simülasyonu çalıştırdım . Aynı davranışla sonuçlanıyorum, ancak bu sefer ıraksama 1 saniye sonra başlıyor:

ODE15s

Daha sonra ode15ssorunun devam edip etmediğini görmek için simülasyonu çalıştırdım ve hayır, sistem 100 saniye boyunca bile kararlı görünüyor:

Sonra tekrar, ode15ssadece ilk sipariş ve sadece birkaç entegre adım olduğunu unutmayın. Bu yüzden ode15s10 saniye boyunca başka bir simülasyon çalıştırdım, ancak hassasiyeti artırmak için 0.01MaxStep büyüklüğünde ve maalesef bu hem ve hem de aynı sonuca yol açıyor .$0.01$ode45ode23

Normalde, bu simülasyonların açık sonucu, sistemin hiçbir şey onu rahatsız etmediği için başlangıç ​​konumunda kalmasıdır. Bu ayrışma neden oluyor? Bu tür sistemlerin doğada kaotik olmasıyla bir ilgisi var mı? Bu ode, Matlab'daki işlevler için normal bir davranış mıdır ?

Sanırım iki ana nokta zaten Brian ve Ertxiem tarafından yapılmış: başlangıç ​​değeriniz kararsız bir dengedir ve sayısal hesaplamalarınızın hiçbir zaman kesin olmadığı gerçeği, istikrarsızlığı devreye sokacak küçük bir bozulma sağlar.

Bunun nasıl oynandığı hakkında biraz daha ayrıntılı bilgi vermek için, sorununuzu genel bir başlangıç ​​değeri sorunu şeklinde düşünün

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) \end{equation}$$ $\mathbf{y}(t) = (x_1(t), x_2(t), x_3(t), x_4(t))$

$$\begin{equation} \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) = \begin{bmatrix} x_2 \\ -V_1 - G_1 \\ x_4 \\ -V_2 - G_2 \end{bmatrix} \end{equation}$$

$\mathbf{f}(0, \mathbf{y}_0) = 0$$\dot{\mathbf{y}}(0) = 0$$\tilde{\mathbf{f}}$

Kodunuzda, bunu hesaplayarak test edebilirsiniz

norm(rhs(0,[pi/2 0 0 0]))

bu da 6.191e-16'yı verir - yani neredeyse sıfır değildir. Bu sisteminizin dinamiklerini nasıl etkiler?

$\mathbf{f}$$\mathbf{y}_0$$\tilde{\mathbf{y}}_0$

Ayrıca, çok kısa bir süre içinde, sisteminizin çözümü doğrusallaştırılmış sistemin çözümü gibi görünür

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{f}(0, \mathbf{y}_0) + \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \left( \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0 \right) = \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \left( \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0 \right) \end{equation}$$

nerede $\mathbf{f}'$$\mathbf{f}$rhs$\mathbf{y}_0$$\mathbf{d}(t) := \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0$$\mathbf{d}$

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{d}}(t) = \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \mathbf{d}(t). \end{equation}$$

Jacobian'ı elle hesaplamaktan rahatsız olamazdım, bu yüzden iyi bir yaklaşım elde etmek için otomatik farklılaştırmayı kullandım :

$$\begin{equation} \mathbf{J} := \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 9.81 & 0 & 2.4525 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2.4525 & 0 & 2.4525 & 0 \end{bmatrix} \end{equation}$$

böylece denkleminiz

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{d}}(t) = \mathbf{J} \mathbf{d}(t), \mathbf{d}(0) = \mathbf{\tilde{y}}_0 - \mathbf{y}_0 \end{equation}$$

Şimdi son bir adıma ihtiyacımız var: Jacobian'ın bir özdeğer ayrışmasını hesaplayabiliriz ki

$$\begin{equation} \mathbf{J} = \mathbf{Q} \mathbf{D} \mathbf{Q}^{-1} \end{equation}$$

$\mathbf{D}$$\mathbf{J}$$\mathbf{Q}$$\mathbf{d}$$\mathbf{e}(t) := \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}(t)$

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{e}}(t) = \mathbf{D} \mathbf{e}(t), \mathbf{e}(0) = \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}_0. \end{equation}$$

$\mathbf{D}$

$$\begin{equation} \dot{e}_i(t) = \lambda_i e_i(t), e_i(0) = i-\textrm{th component of}~\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}_0 \end{equation}$$

$i=1,2,3,4$$\lambda_1 = 3.2485$

$$\begin{equation} e_1(t) = e_1(0) e^{3.2485 t}. \end{equation}$$

$\mathbf{d}(0) = 0$$\mathbf{e}(0) = \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}(0) = 0$$e_1(0) = 0$$e_1(0)$

$\pi/2$$\pi/2$

Fonksiyonlarınızda hesaplanan kuvvetlerin bileşenlerine bakın.

$\pi$

Sonunda, minik kuvvetler $10^{-16}$ başlangıçta) sistemi dengesiz denge konumundan uzaklaştıracaktır.

Sistemin yer değiştirmesi hala çok küçük olsa da, yuvarlama hataları nedeniyle tüm hesaplamalar çok fazla hassasiyet kaybedecektir (buna benzer hesaplamalar yapıyorsunuz) $a = 1.0$; $a = a + 10^{-16}$) böylece sistemin simülasyonda "devrilmesi" için geçen süre, tam olarak hangi entegrasyon yöntemini kullandığınıza, hangi zaman adımlarını istediğinize vb. bağlıdır.

İlk varsayım, başlangıç ​​pozisyonunun sıfır kinetik enerjiyle dengeli bir dengede (yani potansiyel enerjinin minimum değeri) olması ve sistemin dengeden uzaklaşmaya başlamasıydı.
Fiziksel olarak gerçekleşemeyeceği için (klasik mekaniği düşünürsek), aklıma iki şey geldi:

1. Birincisi belki de başlangıç ​​pozisyonu: her iki sarkaç yukarı dönük ($\pi/2$ onun yerine $-\pi/2$?) dengesiz bir denge noktasıdır;

2. İkincisi, belki de hareket denklemlerinde (belki de bir yerlerde bir yazım hatası) yanlış bir şey olmasıdır. Denklemleri açıkça yazabilir misiniz? Belki de açısal ivmeyi, garip bir şey olup olmadığını kontrol etmek için sıfır açısal hız varsayarak, her sarkaçın başlangıç ​​pozisyonunun bir fonksiyonu olarak çizebilirsiniz.

Çift sarkaçlar hakkında daha fazla arama yapmalısınız: "kaotik sistemler" dediğimiz şey bunlar. Basit kurallara göre hareket etseler de, biraz farklı başlangıç ​​koşullarından başlayarak, çözümler oldukça hızlı ayrılır. Bu tür sistemler için sayısal simülasyonlar yapmak kolay değildir. Sorun hakkında daha fazla bilgi edinmek için aşağıdaki videoya göz atın .

Basit veya çift sarkaç için, sistemin toplam enerjisi için bir formül yazabilirsiniz. Sürtünme kuvvetlerinin ihmal edildiği varsayılarak, bu toplam enerji analitik sistem tarafından korunur. Sayısal olarak bu başka bir konudur.

Çift sarkaç denemeden önce basit sarkaç deneyin. Runge-Kutta küçük sipariş yöntemleri için, sabit enerjinin yerine, sayısal enerjilerde sistemin enerjisinin büyüyeceğini göreceksiniz (simülasyonlarınızda olan budur: hiçbir şeyden hareket elde edersiniz). Bunu önlemek için daha yüksek mertebeden RK yöntemleri kullanılabilir (ode45 4. mertebedir; 8. mertebeden RK daha iyi çalışır). Sayısal simülasyonlar enerjiyi koruyacak şekilde tasarlanan "sezgisel yöntemler" olarak adlandırılan başka yöntemler de vardır. Genel olarak, başlatmaya kıyasla enerji önemli ölçüde arttığında simülasyonu durdurmalısınız.

Ve çifte gitmeden önce basit sarkaçları anlamaya çalışın.