Düşük rütbe modifikasyonları Krylov yönteminin yakınsamasını nasıl etkiler?

Bir lineer sistem olması demek , hızlı bir şekilde tüm için uygun bir Krylov yöntem (örneğin, CG veya GMRES gibi) kullanılarak dayanma alanı . Eğer düşük seviye olan bir matris , olacak sisteminde aynı Krylov yöntem da (kabaca sadece bağlıdır yineleme ekstra sayı ideal olarak hızla birleşir )? $A x = b$ $b$ $B$ $r$ $(A + B) x = b$ $r$

Böyle bir sistemin bir örneği, yoğun dış ürün yapısına sahip, iyi koşullandırılmış membran esnekliği ve eğilme artı koşulsuz hava basıncı terimleri olabilir.

Çünkü soru veya ön hazırlık olmadan aynı olduğuna dikkat bir seviye olan modifikasyonu . $P(A + B)Q = PAQ + PBQ$ $r$ $PAQ$

krylov-method

— Geoffrey Irving
kaynak

Krylov altuzayınız güçlerine dayanıyorsa $A$ , yakınsama en fazla düzeltme sıralamasında bir dizi yineleme ile ertelenecektir. güçlerine dayanıyorsa, $A^TA$ bu sayının en fazla iki katı.

$k$ $A+USV^T$ $U,V$ $r$ $k+r$

— Arnold Neumaier
kaynak

A

$A$

A + B

$A+B$

A

$A$

A + B

$A+B$

A

$A$

Belki daha da ilgi için size bazı şartlara Denkleminizi (veya çözüm) yazabilirsiniz için eğer kudreti yardım olduğu nilpotent veya küçük norm. Ayrıca sorunun çözümüne olan bağımlılık da kabul edilmektedir .

B

$\boldsymbol{B}$

x = (E + \sum_{k = 1}^{\infty} {(A^{- 1} B)}^{k}) A^{- 1} b

$\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{E}+\sum_{k=1}^\infty\left(\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\right)^k\right) \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{b}$

B

$\boldsymbol{B}$

A^{- 1} B

$\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$ undisturbed

— Bastian Ebeling