Artırılmış Lagrange için etkili ön koşul

Doğrusal olmayan bir problemle doğrusal olmayan bir problemi çözmek istiyorum ve bilindiği gibi doğrusallaştırılmış sistemlerimin koşul sayısını bozan artırılmış bir Lagrange kullanıyorum (her Newton yinelemesinde) . Ceza süresi ne kadar büyük olursa, koşul numarası o kadar kötü olur. Birisi bu özel durumdan bu kötü durumdan kurtulmanın etkili bir yolunu biliyor mu?

Daha spesifik olmak gerekirse, klasik artırılmış lagrangian'ı kullanıyorum çünkü genellikle gereksiz olabilecek birçok kısıtlama var. Bu nedenle, kısıtlamaları doğrudan değişkenlere primal değişkenlere dahil etmek çok uygundur. Doğrudan KKT sistemindeki değişken elemelere veya verimli önkoşullara dayalı diğer daha karmaşık yaklaşımları denedim, ancak kısıtlamalar fazlalığı nedeniyle bazı sıkıntılarım var.

değişkenleri ile ilgili problem L ( u , λ ) şeklinde Lagrangian'ımı takip ederek formüle edilmiştir : = W ( u ) + ρ λ $\mathbf u =[u_1,\cdots,u_n]$

$$\mathcal L(\mathbf u,\lambda):= \mathcal W(\mathbf u) + \rho \lambda^T \,c(\mathbf u) + \frac{\rho}{2} c^2(\mathbf u)$$

Genel olarak her Newton yinelemesinde amaç, formundaki bir problemi çözmektir (kısıtlamanın kendirini düşürürüz) A ( u , ρ ) : = ∇ 2 u W ( u ) + ρ C T ( u ) C ( u ) ve b ( u , ρ ) : = - ( ∇ u W ( u ) +

$$A \Delta u = b$$ $$A(\mathbf u,\rho): = \nabla_{\mathbf u}^2 \mathcal W(\mathbf u) + \rho C^T(\mathbf u)C(\mathbf u)$$ ve sermaye Cı içindir C ( U ) : = ∇ u C ( U ) . $$b(\mathbf u,\rho) :=- \big(\nabla_{\mathbf u}\mathcal W(\mathbf u) +(\rho +\lambda^Tc(\mathbf u)) \nabla_{\mathbf u}(\mathbf u)\big)$$ $C$$C(\mathbf u) := \nabla_{\mathbf u} c(\mathbf u)$

Teşekkür ederim.

Sorun yapısına bağlı olarak, kötü şartlandırılmış Artırılmış Lagrangian sistemini doğrudan çözebilirsiniz. Örneğin, BDDC / FETI-DP, Poisson oranından (alt etki alanlarında parçalı sabit, ancak keyfi sıçramalarla) yakınsama oranı ile primal formdaki neredeyse sıkıştırılamaz esnekliği çözebilir. Benzer şekilde, hacimsel modu tam olarak çoğaltan çok taneli yöntemler bu özelliğe sahip olabilir. Bu tür yöntemler probleme özgüdür ve genel olarak büyük cezalar, önkoşullaması zor sistemlerle sonuçlanır.

Ön koşullu seçimde daha fazla esneklik sağlamak için, açık çift değişkenler girmenizi ve daha büyük eyer noktası sistemini yazmanızı tavsiye ederim

$$\begin{pmatrix}A & C^T \\ C & -\rho^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix}$$

$A - \tilde\rho C^T C$$\tilde \rho \le \rho$$-\rho^{-1} - C A^{-1} C^T$PCFIELDSPLIT

Sorununuzun kaynağı hakkında daha spesifik olabilirseniz (neyi en aza indirdiğiniz ve kısıtlamanın ne olduğu), daha spesifik referanslar önerebilirim.

KT koşulunda bozulma terimleri için ekstra değişkenler getirin ve matriste giren ceza faktörünün tersi ile sayısal olarak iyi davranan daha büyük bir simetrik sistem bulabilirsiniz.

$(A+\rho C^TC)x=b~$$\rho$$y=\rho Cx$$Ax+C^Ty=b$$Cx-\rho^{-1}y=0$