Direkt yöntemler kullanılırken kötü şartlanma belirtileri nelerdir?

Doğrusal bir sistemimiz olduğunu ve koşullandırması hakkında hiçbir şey bilmediğimizi ve çözüm hakkında ön bilgi sahibi olmadığımızı varsayalım. Gauss eliminasyonunu körü körüne uyguluyoruz ve bir çözüm elde ediyoruz $x$ . Matrisin ayrıntılı bir ön analizi yapılmadan bu çözümün güvenilir olup olmadığını (yani sistemin iyi durumda olup olmadığını) belirlemek mümkün müdür ? Pivotların büyüklüğü güvenilir bilgi veriyor mu?

Ve genellikle, "anında" kötü durum tespiti için ana kurallar nelerdir?

linear-solver condition-number conditioning

— faleichik
kaynak

Yanıtlar:

Bir matris ne zaman hastalanır ? "Güzellik bakanın gözünde" olduğu kadar, aradığınız çözümün doğruluğuna da bağlıdır ...

faktorizasyonuna dayanan ucuz ve sağlam durum numarası tahmin edicileri olduğu için sorunuz daha iyi bir şekilde yeniden ifade edilebilir mi? $LU$

Çift duyarlıklı aritmetik gerçek genel ilgilenen varsayarsak (Yoğun olmayan simetrik) sorun Sana çözücü LAPACK uzman kullanmayı öneririm DGESVX onun karşılıklı, şeklinde bir koşul tahmin sağlar . Bonus olarak, denklem dengeleme / dengeleme, yinelemeli arıtma, ileri ve geri hata sınırları gibi başka güzellikleriniz de vardır. Bu arada, patolojik hastalık koşullandırma ( ) tarafından bir hata olarak belirtilir . $\text{RCOND}\approx 1/\kappa(A)$ $\kappa(A) > 1/\epsilon$ INFO>0

(Veya daha fazla ayrıntıya inildiğinde, LAPACK 1-norm koşul sayısını tahmin Eğer çözme eğer -norm ile) DGECON . Temel algoritma, çim 36: "Durum Tahmininde Kullanım İçin Sağlam Üçgen Çözücüler" bölümünde açıklanmıştır . $\infty$ $A^T x = b$

Bölgede uzman olmadığımı itiraf etmeliyim, ama felsefem: "LAPACK için yeterince iyi ise, benim için".

— Stefano M
kaynak

Norm 1 matrisine sahip kötü şartlandırılmış bir denklem sisteminin çözümü, norm 1'in rastgele bir sağ tarafının çözümü, yüksek olasılıkla koşul sayısının sırasına göre bir norm olacaktır. Böylece bu tür birkaç çözümü hesaplamak size neler olduğunu anlatacaktır.

— Arnold Neumaier
kaynak

Bu gerçekten DGECON'un yaptığı şeydir, ek olarak sonucu en üst düzeye çıkarmak için arama yönünü yinelemeli olarak iyileştirme ve yaklaşık hatalarla çarpışmayan şeyleri yapmak için özel bir üçgen çözücü (BLAS olanlar değil) kullanma. DGECON'un hesaplama maliyeti bu nedenle basit testinizle karşılaştırılabilir. Matris normlarının ve koşul sayısının basit anlamını hatırladığımız için +1. DGECON'un basit bir rastgele kontrol için gerçekten daha sağlam olup olmadığını öğrenmek ilginç olmalıdır.

— Stefano M

A x = b

$Ax=b$

A x

$Ax$

A x = b

$Ax=b$

A

$A$

‖ A ‖ = 1

$\| A \| = 1$

κ (A) = ‖ A ‖ \cdot ‖ A^{- 1} ‖ = ‖ A^{- 1} ‖

$\kappa(A) = \| A \| \cdot \| A^{-1} \| = \| A^{-1} \|$

A

$A$

A x

$Ax$

‖ A ‖

$\| A \|$

‖ A^{- 1} ‖

$\| A^{-1} \|$

Sisteminizin tek bir sonuçtan rahatsız olup olmadığını söylemek neredeyse imkansızdır. Sisteminizin davranışları hakkında bir öngörü yoksa (yani çözümün ne OLMASI gerektiğini bilmiyorsanız), tek bir çözümden söyleyebileceğiniz çok şey yoktur.

Bunu söyledikten sonra, aynı ile birden fazla sistemi çözerseniz daha fazla bilgi edinebilirsiniz . şeklinde bir sisteminiz olduğunu varsayalım . Koşullandırması hakkında önceden bilmediğiniz belirli bir A için aşağıdaki testi yapabilirsiniz: $A$ $Ax=b$

Belirli bir sağ taraf vektörü için çözün . $Ax=b$ $b$
Sağ taraftaki vektörünüzü burada karşılaştırıldığında çok küçük . $b_{new}=b+\mathbf{\varepsilon}$ $||\mathbf{\epsilon}||$ $||b||$
çözün . $Ax_{new}=b_{new}$
Sisteminiz iyi koşullandırılmışsa, yeni çözümünüz eski çözümünüze oldukça yakın olmalıdır (örn. küçük olmalıdır). Yeni çözümünüzde önemli bir değişiklik gözlemlerseniz (örn. büyükse), sisteminiz muhtemelen kötü durumdadır. $||x-x_{new}||$ $||x-x_{new}||$

Sistemin kötü durumda olup olmadığını daha iyi belirtmek için farklı sağ taraf vektörleri içeren birkaç doğrusal sistemi çözmeniz gerekebilir. Tabii ki bu süreç (biraz pahalı ilk çözüm ve için operasyonlar Her ardışık çözüm için işlemleri için doğrudan çözücü varsayarak onun faktörleri kaydeder). A matrisiniz oldukça küçükse, bu bir sorun değildir. Büyükse, bunu yapmak istemeyebilirsiniz. Bunun yerine, koşul sayısını hesaplamak daha iyi olabilir. uygun bir normda. $\Theta(n^3)$ $\Theta(n^2)$ $||A||\cdot||A^{-1}||$

— Paul
kaynak

Sizin iddiası son derece kadar gerçek değil. yoğun olsa bile , kez işi ile çarpanlarına ayrılabilir ve sonra her bir çözüm sadece çalışması gerektirir.

Θ (k n^{3})

$\Theta(kn^3)$

A

$A$

A

$A$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Jack Poulson

@JackPoulson: Kesinlikle haklısın ... Sanırım tamamen boşluk bıraktım. Endişeye gerek yok :) Cevabımı güncelleyeceğim

— Paul

Ortaya çıkan çözümün kalıntıları da değerlendirilebilir mi? beri olarak ölçeklerneredeyse tekil bir , çözeltisi çok kötü olsa bile anlamlı bir artık verebilir.

| | A x - b | |

$||Ax - b ||$

| | A | | \cdot | | x | |

$||A||\cdot||x||$

A

$A$

— Reid.Atcheson

@ Reid.Atcheson: Pek değil. Kötü şartlandırılmış bir sisteme yaklaşık çözüm hala küçük bir artık üretebilir. Bu, gerçek çözümden ne kadar uzakta olduğuna dair herhangi bir gösterge vermez.

— Paul

‖ ε ‖

$\|\varepsilon\|$

‖ b ‖

$\|b\|$