Hiperbolik PDE'ler için hangi zaman entegrasyon yöntemlerini kullanmalıyız?

En sevdiğimiz sayısal yöntemimizle (fx. Sonlu Hacim Yöntemi) mekansal ayrıklaştırmadan sonra elde ettiğimiz hiperbolik PDE'lerin ayrıklaştırılması (ayrı zaman ve alan ayrıklaştırması) için Hatlar Yöntemini kullanırsak, geçici olarak ayrıklaştırma için hangi ODE çözücüsünü kullandığımız pratikte önemlidir. (TSD / SSP / vs)?

Eklenen bazı ek bilgiler: Doğruluk sorunu, sorunsuz olmayan sorunlar için bir sorun olabilir. İlk çözelti pürüzsüz olmasına rağmen, doğrusal olmayan hiperbolik PDE'lerin sınırlı bir süre içinde şoklar geliştirebileceği bilinmektedir, bu durumda doğruluk yüksek dereceli yöntemler için birinci sıraya düşebilir.

ODE Stabilite analizi tipik olarak, q'nun öz değerlerinin seçilen zamanın mutlak stabilite bölgesi içinde ölçeklendirilmesi gereken q_t = J q (qa pertürbasyon vektörü ile) formundaki ODE'lerin doğrusal bir yarı ayrık sistemi elde etmek için doğrusallaştırmaya dayalı olarak yapılır. adımlama yöntemi. Alternatif stratejiler, psödospektrayı veya muhtemelen bir enerji yöntemini kararlılık analizi için kullanmaktır.

TVD / SSP yöntemlerinin motivasyonunun, fiziksel olmayan davranışlara neden olabilecek zaman adımlama yöntemlerinin neden olduğu sahte salınımlardan kaçınmak olduğunu anlıyorum. Soru, deneyimlerin bu tür zaman atlama yöntemlerinin, örneğin açık bir Runge-Kutta Yöntemi veya diğerleri gibi klasik bir çalışma atıyla karşılaştırıldığında daha üstün olduğunu gösterip göstermediği. Açıkçası, çözümün şok gösterebileceği problem sınıfları için daha iyi özelliklere sahip olmalıdırlar. Bu nedenle, bu tür yöntemleri yalnızca zaman entegrasyonu için kullanmamız gerektiği söylenebilir.

Hala bir cevapla ilgilenip ilgilenmediğinizi bilmiyorum, ama yine de gidiyorum:

Doğrusal olmayan denklemlerde şok oluşumunu bildiğinizi söylemiştiniz. Bu yüzden zaman entegratörünüzü dikkatli seçmelisiniz. Zaman ayrıklığı olmadığında bir TVD uzamsal ayrıklaştırma uygulamasının bir faydası yoktur - muhtemelen daha yüksek sıralı sayısal akışlarla gördüğünüz salınımları göreceksiniz.

Ne kaynar ileri Euler çalışır. Sorunuzda zaten SSP'den (güçlü istikrar koruma) bahsettiniz. Bu, Runge-Kutta yöntemlerini kullanan özel bir sınıftır. Temel olarak, yöntemin katsayılarını, Euler adımlarının dışbükey bir kombinasyonu olarak yazılabilecek şekilde seçmelisiniz. Bu şekilde, TVD ve benzeri özellikler korunacaktır.

Gottlieb, Ketcheson ve Shu'nun SSP yöntemleri hakkında "Runge-Kutta'yı Koruyan Güçlü Kararlılık ve Çok Adımlı Zaman Ayrımcılıkları" adlı çok iyi bir kitap var amazon link

Evet, önemli. Endişelenilecek olağan iki şey:

1. Doğruluk. Bazı ODE şemaları diğerlerinden daha doğrudur, yüksek düzen vb. Temel kural, uzamsal takdir yetkinize benzer bir doğruluk sırasına sahip bir yöntem seçmektir.

2. İstikrar. Hiperbolik problemler için operatörün saf hayali özdeğerlere sahip olmasını beklersiniz, bu nedenle kararlılık alanında hayali erişimin bir kısmını içeren bir ODE çözücüsü istersiniz. Bkz. Örneğin, Fornberg, Ek Psödospektral Yöntemler için Pratik Kılavuz, Ek G.

Hiperbolik denklemlerle, bazı insanlar çözümlerinin her zaman pozitif olduğundan emin olmak ister, bu nedenle bunu sağlamak için çeşitli filtreler ve püf noktaları vardır. Ama bunun hakkında neredeyse hiçbir şey bilmiyorum.

Ben bir uzmandan çok uzakım, ama soru bir süredir burada olduğu için cevaplamaya çalışacağımı düşündüm.