Yoğunluk fonksiyonel teorisi sistem boyutuyla nasıl ölçeklenir?

Teorik olarak, yoğunluk fonksiyonel teorisi (DFT) hesaplama zamanı, elektron sayısı ile nasıl ölçeklenir? VASP, ABINIT, vb. Gibi "tipik" DFT uygulamaları ile ilgileniyorum, O (N) kodlarıyla ilgilenmiyorum.

En basit doğru cevap DFT'nin . Bu, nihayetinde seçim sayısıyla orantılı boyutta bir Hamiltoncu köşegenleştirdiğiniz ve köşegenleştirmenin teknik olarak olduğu fikrinden gelir .O ( n, 3$O(N_e^3)$$O(n^3)$

Gerçekte, DFT bir grup adımdır ve farklı adımlar farklı bağlamlarda hız sınırlayıcıdır. Kendimizi düzlem dalga (PW) DFT (VASP, ABINIT, QE ve diğerleri) ile kısıtlarsak, daha güçlü ifadeler yapabiliriz. PW DFT kodlarını anlamak için önemli bir fikir, Hamiltonyan'ın asla büyük bir matris olarak saklanmadığıdır; bunun yerine, Hamilton operatörünün hareketi genellikle `` kurum içi '' yinelemeli köşegenleştiricilerde (eşlenik gradyan, davidson, vb.) hesaplanır ve kullanılır. Bu köşegenleştiriciler resmen , burada , Hamiltonyenlerin hareketini hesaplama maliyetidir, ancak daha büyük bir kendi-tutarlı algoritmada rolleri düşünüldüğünde, çok daha hızlı performans gösterirler.M $O(n_e MV)$$MV$

Hamiltonyenlerin eylemini hesaplama süreci birkaç adımda gerçekleşir:

• Gerçek uzayda yerel potansiyel bir FFT,$O(n_v \ln n_v)$
• Projeksiyon gerçek veya g-uzayda oluşabilir ya da , sırasıylaO ( n a n p n v$O(n_a n_p)$$O(n_a n_p n_v)$
• Yerel olmayan potansiyel sırasıyla diyagonal veya blok diyagonaldir, veyaO ( n a n 2 p$O(n_a n_p)$$O(n_a n_p^2)$

tüm bunlar elektron başına bir kez gerçekleşmelidir (gerçekten dalga fonksiyonu), bu yüzden faktörü ekleyin .$n_e$

Bazı yollarla (örneğin Gram-Schmidt) dalga fonksiyonları (Hamiltonyan'ın özfonksiyonları) birbirine dik tutulmalıdır,$O(n_e^2 n_v)$

Son olarak, dalga fonksiyonlarının bir elektron yoğunluğuna dönüştürülmesi gerekir. PW kodlarında bu, her dalga fonksiyonu (ve bir toplam), başına son bir FFT ile gerçekleştirilir .$O(n_e n_v \ln n_v)$

Birkaç farklı 's : hacim ile ilgilidir (gerçekten, temel boyuttur), atom başına projektör sayısı, atom sayısı ve sayı elektronları. Biçimsel olarak , ve birbirleriyle doğrusal olarak ilişkilidir ( küçük bir tamsayıdır), ancak sabit sayıda elektronla (levha / tel geometrilerinde vakum ekleyerek) hacmi artırmayı veya projektör sayısını artırmayı hayal edebilirsiniz. sabit sayıda atom ve elektron (daha doğru bir sahte potansiyel kullanarak).$n$$n_v$$n_p$$n_a$$n_e$$n_v$$n_a$$n_e$$n_p$

Sorunların FFT ile sınırlı olması yaygındır, bu durumda teknik olarak doğru değilse, literatürde biraz yaygın bir cevap olan etkili .$O(n^2 \ln n)$