Matrix ifadeleri için sembolik yazılım paketleri?

simetrik ve pozitif-kesin olduğunu biliyoruz . B'nin dikgen olduğunu biliyoruz :$\mathbf A$$\mathbf B$

Soru: simetrik ve pozitif kesin midir? Cevap: evet.$\mathbf B \cdot\mathbf A \cdot\mathbf B^\top$

Soru: Bir bilgisayar bize bunu söyleyebilir mi? Cevap: Muhtemelen.

Matrisler hakkında bilinen gerçekleri işleyen ve yayan herhangi bir sembolik cebir sistemi (Mathematica gibi) var mı?

Düzenleme: Açık olmak gerekirse bu soruyu soyut olarak tanımlanmış matrisler hakkında soruyorum. Yani, ve B için açık girdilerim yok , sadece her ikisinin de matris olduğunu ve simetrik, pozitif kesin, vb. Gibi belirli özelliklere sahip olduğunu biliyorum.$A$$B$

Düzenleme: Bu şimdi SymPy'de

$ isympy
In [1]: A = MatrixSymbol('A', n, n)
In [2]: B = MatrixSymbol('B', n, n)
In [3]: context = Q.symmetric(A) & Q.positive_definite(A) & Q.orthogonal(B)
In [4]: ask(Q.symmetric(B*A*B.T) & Q.positive_definite(B*A*B.T), context)
Out[4]: True

Diğer işleri gösteren eski cevap

Yani bir süre bu konuya baktıktan sonra bulduğum şey bu.

Özel soruma şu anki cevabı "Hayır, bu soruyu cevaplayabilecek mevcut bir sistem yok." Ancak yakın gibi görünen birkaç şey var.

İlk olarak, Matt Knepley ve Lagerbaer , Diego Fabregat ve Paolo Bientinesi'nin çalışmalarına dikkat çekti . Bu çalışma, bu sorunun hem potansiyel önemini hem de uygulanabilirliğini göstermektedir. Güzel bir okuma. Ne yazık ki, sisteminin tam olarak nasıl çalıştığından veya neler yapabileceğinden tam olarak emin değilim (eğer bu konudaki diğer kamu materyallerini bilen varsa bana bildiriniz).

İkincisi, Mathematica için yazılmış ve simetrileri idare eden xAct adında bir tensör cebir kütüphanesi var . Bazı şeyleri çok iyi yapıyor ama özel doğrusal cebir vakasına göre tasarlanmadı.

Üçüncüsü, bu kurallar resmen bir otomatik teorem kanıtlama yardımcısı olan Coq için (birkaç tanesini bulmak için coq linear / matrix cebirini aramak ) olan birkaç kitaplıkta yazılmıştır . Bu ne yazık ki insan etkileşimi gerektiriyor gibi görünen güçlü bir sistem.

Bazı teoremlerle konuştuktan sonra , insanları bu tür şeyler için mantık programlamasına (örneğin, Proger, Lagerbaer'ın önerdiği gibi) bakmayı öneriyorlar. Bildiğim kadarıyla bu henüz yapılmadı - gelecekte onunla oynayabilirim.

Güncelleme: Maude sistemini kullanarak bunu uyguladım . Kodum github'da barındırılıyor

Bazı sembolik matris hesaplamaları (örneğin, blok matrisin tamamlanması), NCAlgebra http://www.math.ucsd.edu/~ncalg/ (matematiğin altında çalışan) paketi ile yapılabilir .

Bergman http://servus.math.su.se/bergman/ Lisp'te benzer yeteneklere sahip bir pakettir.

Bazı ilgili makaleler:
http://math.ucsd.edu/~helton/osiris/COMPALG2000/ohRevisIJC.pdf
http://math.ucsd.edu/~thesis/thesis/dkronewitter/dkronewitter.pdf
http: // www. tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00207170600882346

CAS2x23x3$\mathbf B$

O zaman soru, Nboyutsal bir matris ne olur ? Belki de N-1 x N-1bunun doğru olduğu kabul edilen endüktif bir şema geliştirebilir ve daha sonra N x Nbunun kesin ve simetrik olduğunu kanıtlamak için toplam büyüklükte yeni bir blok matris oluşturabilirsiniz .

Yazılım daha iyi görev (varsa) için müsait olan son soruya, Yani, benim deneyim ile olmuştur MATLAB/MuPadve Derive(yine de kullanabilirsiniz) ve ikisi vektörleri ve matrisleri çok iyi idare. MATLABher şeyi bileşenlere Deriveayırır ve beyan edebilir Non-scalarsancak bunlara basitleştirme kuralları uygulamaz.

$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec b)\vec c - (\vec a \cdot \vec c) \vec b$

Bu paketlerden birini en son kullandığımdan bu yana bir süre geçti, ancak iddiaları kullanarak bunu Mathematica gibi dillerde yapabileceğinizi düşündüm. Assert [A, Simetrik] gibi bir şey, Mathematica'ya A'nın simetrik bir matris olduğunu söyler. Şu anda her ikisine de erişemiyorum, bu yüzden kontrol edilmesi gereken bir şey bu.

Maple 15 yapamaz. Matrisler için "Ortogonal" özelliği yoktur (Simetrik ve PositiveDefinite olmasına rağmen).

Mathematica'da bu özellikleri en azından belirli matrisler için kontrol edebilirsiniz. Örneğin, Atanımladığınız matris :

In[1]:= A = {{2.0,-1.0,0.0},{-1.0,2.0,-1.0},{0.0,-1.0,2.0}};
        {SymmetricMatrixQ[A],PositiveDefiniteMatrixQ[A]}
Out[2]= {True,True}

Matris için B:

In[3]:= B = {{0, -0.80, -0.60}, {0.80, -0.36, 0.48}, {0.60, 0.48, -0.64}};
        Transpose[B] == Inverse[B]
Out[4]= True

Sonra:

In[5]:= c = B.A.Transpose[B];
        {SymmetricMatrixQ[c],PositiveDefiniteMatrixQ[c]}
Out[6]= {True,True}

Mathematica Matrisler ve Lineer Cebir Dokümantasyonu