Voronoi Tesselation ve Delaunay nirengi problemleri nasıl birbirlerinin ikilileri?

10

Her zaman Voronoi diyagramının Delaunay nirengi probleminin ikili olduğu söylendi. Hangi anlamda birbirlerinin ikilisi olabilirler? İkili problemlerin (yani doğrusal programlamada) aynı cevabı üretmesi gerektiğini düşündüm. Açıkçası, iki sorunun aynı çözümü yoktur. Onları nasıl düşünebiliriz?

computational-geometry delaunay-triangulation voronoi-diagrams

— Paul
kaynak

2

Düalitenin farklı bağlamlarda farklı anlamları olabilir. Örneğin, fonksiyon uzayları çift boşluk içerebilir; Bir fonksiyon alan çift boşluk tüm lineer fonksiyonellerin dizi . Matematikte ikilik hakkındaki Wikipedia makalelerine ve örnekler için ikilik ilkeleri listesine bakın. Bu arka plan göz önüne alındığında, "ikili bir sorun olmanın ne anlama geldiği" sorusu hem belirsiz hem de çok geniştir, çünkü bağlama bağlıdır.

V

$V$

V

$V$

— Geoff Oxberry

Bu doğru, ama bu durumda, özellikle bu sorun anlamında dualiteye atıfta bulunuyorum

— Paul

Anladım, bu yüzden "İkili sorun olmak ne anlama geliyor?" daha genel bir ortamda.

— Geoff Oxberry

12

Basit cevap, ikili olmalarıdır, çünkü her delaunay nirengi için bir ve sadece karşılık gelen bir voronoi mozaikleme vardır ve bunun tersi de geçerlidir. Bu çoğu vaka için doğrudur, ancak yazışmalar bire bir değildir. Örneğin, voronoi mozaiklemenin düzenli bir kare ızgara olduğu durumda.

Hem voronoi mozaikleme hem de delaunay üçgenleme, belirli bir nokta kümesi için hesaplama yapmak için önemsiz değildir. Ama birini bulduktan sonra diğerini bulmak kolaydır.

Noktaları, bir dizi Delaunay nirengi olarak , tüm üçgenler üçgenler herhangi birine karşı gelen circumcircle içinde hiçbir noktalar olduğu anlamına gelir, "Delaunay" dir. $P$

Noktaları kümesi için Voronoi mozaiği, , Voronoi hücreleri grubu oluşur her noktası için bu şekilde, daha yakın olan içinde başka herhangi bir noktaya, daha sonra . $P$ $R$ $R_i$ $P_i$ $P$

Delaunay üçgenleme göz önüne alındığında, sadece komşu üçgenleri daire halka merkezlerine bağlayın.

noktaları ve voronoi mozaikleme seti göz önüne alındığında, komşu hücre noktalarını birbirine bağlar. Bu elbette voronoi mozaik yapımında kullanılan noktası kümesini bildiğiniz göz önüne alınmıştır . $P$ $P$

— Peter
kaynak

12

Sadece başkalarının söylediklerini göstermek için: aşağıdaki mavi Voronoi diyagramı, kırmızı çift Delaunay üçgenleme. Geometrik düzlem grafikleri olarak iki yönlüdürler. Voronoi diyagramından Delaunay üçgenlemesinin türetilmesi önemsizdir. Ters yön o kadar açık değildir, ancak Delaunay nirengi ve bazı hesaplamalardan Voronoi diyagramını hesaplayabileceğiniz doğrudur.
Vor Diag Del Tri
Bu diyagramları ComputationalGeometry paketini kullanarak Mathematica'da 50 rastgele nokta için hesapladım . Kodum için bu bağlantıya bakın .

— Joseph O'Rourke
kaynak

Bilgi için teşekkürler. Mathematica'nın sadece ağırlıksız Voronoi mozaikleri yapması çok kötü; birkaç ay önce bir proje için böyle bir yetenek kullanabilirdik!

— aeismail

Python'da da yapmak oldukça kolaydır. Scipy.spatial'ı kontrol edin.

— meawoppl

5

${\bf P}$ ${\bf G}$ $G_i$ $P_i$ $P_j \in {\bf P}, j \neq i$ ${\bf P}$

Bir bakıma, bu, istatistiksel fizikteki üçgen ve altıgen kafesler arasındaki mevcut ikilik ile benzerdir. Eşkenar üçgen kafesdeki hücrelerin orta noktaları, bağlandığında altıgen bir kafes oluşturur ve bunun tersi de geçerlidir .

Bununla birlikte, tüm Voronoi mozaiklerinin Delaunay üçgenlemelerinin çiftleri olmadığı belirtilmelidir; bu ilişki muhtemelen sadece ağırlıksız Voronoi mozaikleri için geçerlidir . Kenarları belirlemek için Öklid mesafesinden başka bir şeyin kullanıldığı ağırlıklı mozaikleme yöntemleri için, uygunluk bozulur.

— aeismail
kaynak

3

Geoff'un yorumunda ayrıntılı olarak açıklamak için: Delaunay üçgenleme ve Voronoi diyagramları "problemler" değil, "nesneler" dir. Bu nedenle, "çözümlerden" bahsetmek biraz zor.

Dualite tessalasyonlar ve nirengi arasındadır: Üçgenleştirmeden tenelasyona geçmek için, üçgenlemenin köşelerinin Voronoi setini oluşturursunuz. Voronoi eğitiminden Delaunay üçgenlemesine geçmek için, iki hücrenin "orta noktalarını" birbirine temas ederse bağlarsınız.

— kısa kılıç
kaynak

2

Voronoi ve Delaunay grafikleri, grafik özellikleri için ikili olarak adlandırılır. Wikipedia'da Çift Grafik konusuna bakın .

— Ölüm nefesi
kaynak