Parareal, PITA ve PFASST arasındaki farklar nelerdir?

Parareal, PITA ve PFASST algoritmalarının tümü , zamana bağlı sorunların zaman içindeki çözümünü paralel hale getirmek için etki alanı genelinde kullanılan tekniklerdir.

1. Bu yöntemlerin ardındaki yol gösterici ilkeler nelerdir?

2. Aralarındaki ana farklar nelerdir?

3. Birinin diğerine dayandığını söyleyebilir miyim? Nasıl?

4. Başvuruları ne olacak?

"Hangisi daha iyi?" Sorusuna cevap verilmeyeceğini biliyorum, ancak uygulama alanları ve geçerlilik koşullarının iyi anlaşılması bana yardımcı oluyor.

Bu yöntemler kabaca burada ve F ile gösterilen iki zaman aşamalı yöntemle tanımlanabilir . Hem G hem de F , çözeltiye yaklaşık olarak yaklaşarak başlangıç ​​değeri U n ≈ u ( t n$G$$F$$G$$F$$U_n \approx u(t_n)$

$$u(t) = u_0 + \int_0^t f(\tau,u(\tau)) \,d\tau$$

dan için t , n + 1 (olup, ˙ U = f ( u , t ) ). Yöntemlerin etkili olabilmesi için, G propagatorunun F propagator'dan hesaplama açısından daha ucuz olması ve dolayısıyla G'nin tipik olarak düşük dereceli bir yöntem olması gerekir. Metotların toplam doğruluğu F propaülatörünün doğruluğu ile sınırlı olduğundan , F tipik olarak daha yüksek mertebedir ve ek olarak G'den daha küçük bir zaman adımı kullanabilir . Bu nedenlerle, $t_n$$t_{n+1}$$\dot{u} = f(u,t)$$G$$F$$G$$F$$F$$G$$G$kaba propagator ve ince propagator olarak adlandırılır.$F$

Parareal yöntemi , n = 0 … N - 1 için bir ilk yaklaşım hesaplanmasıyla başlar; burada N , kaba çoğaltıcıyı kullanarak zaman adımı sayısıdır. Daha sonra Parareal yöntemi, F'nin ( t n + 1 , t n , U k n ) paralel hesaplaması ile formun her işlemcisindeki başlangıç ​​koşullarının güncellenmesi arasında dönüşümlü olarak tekrarlanır.$U_{n+1}^0$$n = 0 \ldots N-1$$N$$F(t_{n+1},t_n,U_n^k)$

$$U_{n+1}^{k+1} = G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k+1}) + F(t_{n+1}, t_n, U_n^k) - G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k})$$

$n = 0 \ldots N-1$$G$$F$

PITA yöntemi Parareal'a çok benzer, ancak önceki güncellemeleri izler ve her işlemcideki ilk koşulu Krylov altuzay yöntemlerini anımsatan bir şekilde günceller. Bu, PITA'nın Parareal'ın yapamayacağı lineer ikinci dereceden denklemleri çözmesine izin verir.

PFASST yöntemi, Parareal ve PITA yöntemlerinden iki temel şekilde farklıdır: birincisi, yinelemeli Spektral Ertelenmiş Düzeltme (SDC) zaman adım şemasına dayanır ve ikincisi kaba propagator'a Tam Yaklaşım Şeması düzeltmelerini içerir ve aslında PFASST propagator hiyerarşisini kullanabilir (sadece iki yerine). SDC'nin kullanılması, Parareal ve PITA'nın verimlilik kısıtlamalarını gevşeterek zamana paralel ve SDC iterasyonlarının hibritlenmesine izin verir. FAS düzeltmelerini kullanmak, PFASST'ın kaba çoğaltıcılarını oluştururken çok fazla esneklik sağlar (kaba çoğaltıcıları mümkün olduğunca ucuz hale getirmek paralel verimliliği artırmaya yardımcı olur). Kabalaşma stratejileri şunları içerir: zaman uyumlu (daha az SDC düğümü), uzay-kaba (ızgara tabanlı PDE'ler için), operatör kabalaşması ve azaltılmış fizik.

Umarım bu algoritmalar arasındaki temelleri, farklılıkları ve benzerlikleri açıklar. Daha fazla bilgi için lütfen bu yayındaki referanslara bakın.

Uygulamalar ile ilgili olarak, yöntemler çok çeşitli denklemlere (gezegen yörüngeleri, Navier-Stokes, parçacık sistemleri, kaotik sistemler, yapısal dinamikler, atmosferik akışlar vb.) Uygulanmıştır. Belirli bir probleme zaman paralelleme uygularken, yöntemi kesinlikle çözülmekte olan probleme uygun bir şekilde doğrulamalısınız.