Biraz salınımlı serileri yüksek hassasiyetle hesaplamak?

Şu ilginç işleve sahip olduğumu varsayalım: Onun türev rasyonel katlarında sürekli olmaması gibi bazı hoş olmayan özelliklere sahiptir . Kapalı bir formun olmadığından şüpheleniyorum.

f (x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$

π

$\pi$

Kısmi toplamları hesaplayarak ve Richardson ekstrapolasyonunu kullanarak hesaplayabilirim, ancak sorun, işlevi çok sayıda ondalık basamağa hesaplamak için çok yavaş olmasıdır (örneğin, 100 iyi olurdu).

Bu işlevi daha iyi ele alabilecek bir yöntem var mı?

İşte bazı eserler içeren bir grafiği : $f'(\pi x)$

$Fonksiyonun türevi, $ f '(\ pi x) $$

convergence extrapolation

— Kirill
kaynak

Belki , burada bir Chebyshev polinomu olabilir. Sonra toplama bir dizi rasyonel polinom gibi görünmeye başlar. Eğer seriyi Chebyshev temelinde rasyonel bir polinom haline getirebilirseniz, onu özetlemek için çok etkili bir yol sağlar. Chebyshev polinomlarına ve temeline aşina değilseniz, C'deki Sayısal Tarifler iyi bir primere sahiptir ve bunun yanı sıra: www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

— Jay Lemmon

er,

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

— Jay Lemmon

@JayLemmon Bu bağlantı için teşekkürler. Bir göz atacağım ve yardımcı olup olmadığını göreceğim.

— Kirill

Bu partiye biraz geç katılıyorum, ama Padé yaklaşımlarını, yani Richardson ekstrapolasyonu yerine -Algoritmayı kullanmayı denediniz mi?

ε

$\varepsilon$

— Pedro

Yüksek salınımlı integraller örneğine benzer şekilde, salınımlı ve kalıcı olmayan kısımlar arasındaki ayrım hakkında bilgi sahibi olmadan iyi bir iş yapabileceğinizi düşünmüyorum. Böyle bir ayrımınız varsa, Fourier serisi cevap size kolay üstel yakınsama sağlar.

— Geoffrey Irving

Yanıtlar:

Analitik tekniklere izin verilmiyor, ancak periyodik yapı biliniyorsa, burada bir yaklaşım var. Let süresi ile periyodik olarak , böylece burada Böylece, integrallerine doğrudan veya bir demet hesaplayabilirsiniz

g (x) = \frac{\cos x}{2 - \cos x}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

g (x) = \sum_{j} w_{j} e^{i j x}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

w_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (x) e^{- i j x} d x

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{g (k x)}{k^{p}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{p}} \sum_{j} w_{j} e^{i j k x} \\ = \sum_{j} w_{j} \sum_{k \geq 1} \frac{{(e^{i j x})}^{k}}{k^{p}} \\ = \sum_{j} w_{j} {Li}_{p} (e^{i j x}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$ değerleri ve bir DFT kullanın. Her iki durumda da, muhtemelen sonuçlara Richardson ekstrapolasyonu uygulayabilirsiniz. Sizin durumunuzda mahallesinde analitik olduğundan, son seri Richardson olmadan bile katlanarak birleşir.

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

— Geoffrey Irving
kaynak

Diyelim ki ?

g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

— Geoff Oxberry

İçin ile tamsayı, elimizdeki align ; burada , trigamma işlevidir ( http://en.wikipedia.org/wiki/Polygamma ). İşte fonksiyon ve çıkarılmış artefaktlar ile türevi grafikleri: $x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(k + b n)^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \frac{ψ^{1} (k / b)}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ Seriler için değerler ve türevler

— Geoffrey Irving
kaynak

Teşekkür ederim. Sorun, bu özel işlevi, aslında değerlendirmek istediğim, benzer özelliklere sahip, ancak aslında aynı olmayan başka daha karmaşık bir işlev için bir model olarak seçmem. MSE ile ilgili bu sorudaki kapalı formun farkındayım . Bunu, sonsuz bir diziyi sayısal olarak kapalı form olmadan toplamakla ilgili bir soru olarak kastettim .

— Kirill

Belki diğer cevabım o zaman daha iyidir?

— Geoffrey Irving

Nasıl hakkında Levin u-dönüşümü ? Fortan kodlarına ek olarak, çeşitli versiyonları vardır GSL : `gsl_sum_levin_u *' . Matlab'ın MuPAD ve akçaağaç bu şemayı kullanabilir.

— horchler
kaynak

Denedim, ama Richardson ekstrapolasyonunun daha doğru olduğunu gördüm.

— Kirill