FFT'de spektral sızıntı neden ortaya çıkıyor?

Ben googling ve wikipedia-ing denedim, ama 'Giriş sinyalinin frekansı iki kutu arasında oturuyor çünkü' ötesinde herhangi bir cevap almadım.

Bunun nedeni olduğunu anlıyorum, ancak anlayamadığım şey, sızıntının neden sadece bir bitişik çöp kutusu yerine birkaç bitişik kutuya kadar uzandığı.

Neden bahsettiğimi göstermek için bazı simüle veriler (yazının sonundaki kod):

Yukarıda, frekans 10'un sinüs dalgasının (log ölçeğinde çizilen) FFT spektrumu yer almaktadır. Örnekleme oranı birdir ve örnek sayısı 100'dür. Grafik FFT-kaydırılmıştır. Açıkça sadece bin 10'da bir tepe var ve geri kalanı sayısal hata sırasına göre ya da orada.

Bu, üretilen 10.1 frekansındaki frekans spektrumudur. Açıkça hemen komşu kutudan daha fazla kutuya 'sızıntı' var.

Bu, 10.5'lik bir frekansın grafiğidir.

Soru: Neden bu sızıntı var ve neden hemen bitişikteki bölmeden ziyade diğer tüm bölmelere uzanıyor?

---

Kod, ilgilenen herkes için (Python kodu)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xFreq = 10.5
xSize = 100.0
xPeriod = xSize/xFreq
x = np.linspace(1,xSize,xSize)

data = np.sin(2*np.pi*x/xPeriod)
fft = np.fft.fft(data)
fft = np.fft.fftshift(fft)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(abs(fft), "o")
ax.set_yscale('log')
plt.show()

xFreqDeğeri 10.0yerine 10.5vb. Olarak değiştirdim .

Bir FFT sonlu bir uzunluğa sahiptir ve bu nedenle veri akışı üzerinde varsayılan bir dikdörtgen pencere oluşturur. Zaman alanındaki bir pencere, frekans alanındaki pencerenin dönüşümü ile bir kıvrım ile sonuçlanır. Dikdörtgen bir pencerenin dönüştürülmesinin sonsuz genişliğe sahip bir Sinc fonksiyonu (sin (x) / x) olduğuna dikkat edin. Genişliği sadece 2 kutu değil. Böylece, Sinc fonksiyonunun dalgalanmaları, FFT'nin uzunluğunda mükemmel periyodik olmayan herhangi bir spektral zirveden çok "sızıntı" olarak görünecektir.

Aşağıdaki resim, sinc fonksiyonunun frekans yanıtının bir bölümünü göstermektedir. Ton, kutulardan birinde ortalandığında, diğer tüm noktalar frekans yanıtındaki boş değerlerle sıralanır. Eğer bir bölmede ortalanmamışsa, tüm frekans tepkisini kaydırmak gibidir, bu da diğer bölmelerin frekans yanıtının boş olmayan kısımlarına düşmesine neden olur.

Buna bakmanın bir başka yolu, bir FFT'nin, her filtre durdurma bandı zemininin çok sayıda dalgalanmaya sahip olduğu ve kesinlikle merkez frekanstan 1 binden fazla zayıflamada sonsuz olmadığı bir filtre bankası olmasıdır. Dikdörtgen dışındaki bazı pencerelerin (von Hann, vb.) Alt kullanım bantları vardır, bu da popüler kullanımlarının bir nedenidir.

hotpaw2'nin yanıtı iyi ama user5133yorumunda biraz ayrıntılı olarak durmak istiyorum :

"FFT giriş sırasının periyodik olduğunu varsayar" diyerek kaçağı açıklamadığınız için teşekkür ederiz. 'Varsayılan periyodiklik' saçma kavramı ne yazık ki DSP literatüründe çok sık tekrarlanıyor

ve aynı zamanda soruyu da cevaplayın. Bu alanda bir uzman olduğuna dikkat edin --- yorum yapmak, düzeltmek veya onaylamaktan çekinmeyin.

$\mathbb{Z}$$\{1,2,\dots, N\}$

$$X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.$$

$N$$N$$\mathbb{Z}$

$${\displaystyle X_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-2\pi ikn/N},\quad k\in \mathbb {Z} \,}$$ $X(2\pi k/N)$$n$$\{1,2,\dots, N\}$$x[n]w[n]$$w$$n\in\{1,\dots,N\}$

Ancak bir ürünün Fourier dönüşümü, Fourier dönüşümlerinin evrimi:

$$\mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}*\mathcal{F}\{g\}$$

$\text{sinc}$

$$\int_{-\infty}^\infty w(f)e^{-j\omega t} dt = \int_{-\tau}^{\tau} e^{-j\omega t}dt =2\tau \text{sinc}(\omega \tau)$$

$\text{sinc}$