2 uzamsal sinyalin kovaryans matrisi üzerine soru

Kovaryans matrisini ne zaman anladığımı her düşündüğümde, başka biri farklı bir formülasyonla ortaya çıkıyor.

Şu anda bu makaleyi okuyorum:

J. Benesty, "Pasif akustik kaynak lokalizasyonu için uyarlanabilir özdeğer ayrışma algoritması" , J. Acoust. Soc. Am. Cilt 107 , Sayı 1, s. 384-391 (2000)

ve tam olarak anlamadığım bir formülasyonla karşılaştım. Burada yazar, iki sinyal arasında kovaryans matrisini inşa ediyor,$x_1$, ve $x_2$. Bu iki sinyal farklı sensörlerden geliyor.

Bir sinyalin kovaryans matrisi için, regresyon matrisini hesaplayarak elde edebileceğimizi biliyorum ve daha sonra aynı matrisin Hermitianı ile çarpıp $N$, orijinal vektörün uzunluğu. Buradaki kovaryans matrisinin boyutu keyfi olabilir ve maksimum boyut$N\times N$.

İki uzamsal sinyalin kovaryans matrisi için, ilk sinyali ilk satıra ve ikinci sinyali bir matrisin ikinci satırına yerleştirirsek, Hermitianı ile çarpar ve $N$, sonra bir $2\times 2$ her iki uzamsal sinyalin kovaryans matrisi.

Ancak, bu makalede yazar dört matris gibi görünen şeyi hesaplar ,$R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$, ve $R_2{}_2$ve sonra onları bir süper matrise koyar ve bunu kovaryans matrisi olarak adlandırır.

Neden böyle? İşte metnin bir resmi:

İki sinyal vektörünüz varsa $x_1[n]$ ve $x_2[n]$ her biri $N$ öyleyse dikkate alabileceğimiz iki farklı şey var.

1. Miktarlar nasıl $\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$karşılaştırmak? Sinyaller Özellikle, gürültülü ve gürültü olarak kabul edilebilir ortak , bu miktarlar gürültü de gürültülerin kovaryans olarak iki sinyal içindeki iki sapmalar tahmin etmek için de kullanılabilir sabit (veya ortak geniş anlamda durağan) de sabit örnekleme zamanı. Bu ne alırsınız$2\times 2$ kovaryans matrisi

   $$R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$$ Gürültü $x_1[n]$ varyansı var $\sigma_1^2 = R_{1,1}$ hangisinden farklı olabilir $R_{2,2} = \sigma_2^2$, içindeki gürültünün varyansı $x_2[n]$. Ancak sesler kovaryans ile ilişkilidir$R_{1.2}=R_{2,1} = C$. Şimdi, sadece olanlarla bir şeyler yapmayı planlıyorsak$n$, olabilecekleri görmezden gelmek $n-1$ veya $n+1$ vs., o zaman bu ihtiyacımız olan tüm bilgilerdir.

2. Gürültünün beyaz gürültü olduğu bilinmediği (veya olduğu varsayıldığı sürece), böylece farklı örnekleme örneklerinden gelen gürültü örnekleri bağımsızdır (ve dolayısıyla ilişkisizdir) veya basitçe ilişkisiz gürültü örneklerini varsayarsak, korelasyonu dikkate almadan göz ardı ettiğimiz bilgiler vardır. arasında $x_1[n]$ ve $x_1[m]$, aynı süreçten farklı zamanlarda veya konumlardaki örnekler ve arasındaki korelasyon $x_1[n]$ ve $x_2[m]$, farklı süreçlerde veya konumlarda iki işlemden örnekler. Bu ek bilgiler daha iyi bir tahmin / çözüm sağlayabilir. Şimdi toplamda$2N$ gürültü örnekleri ve bu nedenle bir $2N \times 2N$kovaryans matrisini dikkate almak. Konuları yazarların yaptığı gibi düzenlersek, $R_{\text{full}} = E[XX^T]$ nerede

   $$X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$$ ve bu yüzden $$R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$$ nerede $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$. Bunu not et$R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$özünde, çapraz korelasyon fonksiyonudur.$(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$ ve $(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$ Eğer $i \neq j$ve otokorelasyon fonksiyonu$i = j$. Gürültü işlemleri beyaz ve ilişkisiz ise,$n = m$, sonra $$R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$$ nerede $I$ bu $N\times N$ kimlik matrisi ve $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ ve $C$yukarıdaki 1. maddede tanımlandığı gibidir. Bu gürültü modelinin ne kadar gerçekçi olabileceği son kullanıcının belirleyeceği bir şeydir. Modeli ise ise gerçekçi, sonra hiçbir şey bakarak elde edilir$2N\times 2N$ matris $R_{\text{full}}$ çünkü tüm bilgiler orada $2\times 2$ matris $R_{2\times 2}$Yukarıdaki Madde 1. Model gerçekçi değilse, ancak tüm bilgileri tam olarak kullanmayı düşünmüyoruz (veya kullanamıyoruz) $2N\times 2N$ matris $R_{\text{full}}$; biz sadece yapacağız$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ ve $C$ ihtiyacımız olmayan Bölüm 1 $R_{\text{full}}$ veya $R_{\text{simple}}$, sadece $R_{2\times 2}$.