DTFT ve DFT (ve tersleri) analizlerinde ne zaman kullanılır?

Okumalarımın çoğunda, bazı yazarlar (dijital sinyalin) frekans (dönüşüm) alanında çalışma hakkında konuştuğunda, çoğu zaman DFT'yi veya DTFT'yi (ve elbette karşılık gelen terslerini) alırlar. Farklı yazarlar biri ya da diğeri ile çalışma eğilimindedir.

Bununla ilgili belirli bir modeli gerçekten tespit edemedim. Bunda, DTFT'yi neden DFT üzerinden veya algoritmaları açıklarken tersi seçesiniz? Biri diğerine karşı size nasıl yardımcı olur?

fft fourier-transform dft

— TheGrapeBeyond
kaynak

DTFT, numuneler zaman içinde eşit aralıklı olmadığında kullanılabilir, DFT yapamaz.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Ahh iyi bir nokta.

— Ağustos'ta TheGrapeBeyond

Yanıtlar:

DFT ve DTFT, her ikisi de zamana bağlı ayrık sinyallerin fourier spektrumunu ürettikleri için açıkça benzerdir. Bununla birlikte, DTFT sonsuz uzun bir sinyali işlemek için tanımlanırken (-den sonsuzluktan sonsuza kadar toplam), DFT periyodik bir sinyali işlemek için tanımlanır (periyodik kısım sonlu uzunluktadır).

Spektrumunuzdaki frekans kutularının sayısının her zaman işlenen örnek sayısına eşit olduğunu biliyoruz, bu da ürettikleri spektrumlarda bir fark veriyor: DTFT spektrumu sürekli iken DFT spektrumu ayrık (ancak her ikisi de periyodik Nyquist frekansına göre).

Sonsuz sayıda örneği işlemek mümkün olmadığından DTFT, gerçek hesaplama işlemleri için daha az öneme sahiptir; temel olarak analitik amaçlar için mevcuttur.

Bununla birlikte, DFT, sonlu girdi vektörü uzunluğu ile işleme için mükemmel bir şekilde uygundur. Giriş sinyalinin periyodik bir sinyalin bir alıntısı olduğu gerçeği çoğu zaman göz ardı edilir: Bir DFT spektrumunu tekrar zaman alanına dönüştürdüğünüzde, spektrumu hesapladığınız sinyalin aynısını alırsınız. ilk sırada.

Bu nedenle, hesaplamalar için önemli olmasa da, gördüğünüz şeyin sinyalinizin gerçek spektrumu olmadığını unutmayın . Girdi vektörünü periyodik olarak tekrarlarsanız alacağınız teorik bir sinyalin spektrumudur.

Bu yüzden, bahsettiğiniz literatürde, çalıştığınız spektrumun aslında spektrum olduğu ve şeylerin hesaplama tarafını göz ardı ettiği önemli olduğunda, yazar DTFT'yi seçeceğini varsayıyorum.

— Nils Werner
kaynak

Peki, eğer bir sinyal asla gerçekçi bir şekilde sonsuz uzunlukta değilse, o zaman neden DTFT'yi kullanarak analiz ettim? Bir çeşit kolaylık veya beraberinde gelen bir şey var mı?

— TheGrapeBeyond

Daha matematiksel doğruluğu kolaylığı daha. Periyodik olmayan sinyaller için matematiksel bir kanıt yazarken, sinyalinizin sonsuz uzunlukta olduğunu varsaymaktan başka seçeneğiniz yoktur çünkü Fourier dönüşümü (hem ayrık hem de sürekli) bu şekilde çalışır.

— Nils Werner

Zor olmaya çalışmıyorum, ama her zaman sinyalin periyodik olduğunu ve DTFT'nin daha matematiksel olarak doğru olduğunu varsayacaksanız, o zaman neden analizde DFT'yi kullanıyorsunuz? Algoritmaları analiz ederken neden elde etmeye çalıştığım birinden diğerini kullanıyorum?

— TheGrapeBeyond

Zaman sınırlı sinyallerin dönüştürülmesi hakkında düşünmek istediğinizde, sonsuz sinyalin "pencere fonksiyonu" ile çarpılarak, ilgilendiğiniz kısmı etkili bir şekilde kırpmasını düşünmeniz gerekir. En kolay durum dikdörtgen bir fonksiyon olacaktır; ancak bu pencere fonksiyonunun da sinyal üzerinde dönüştürülmesi ve sonra kıvrılması gerekir. Bu, bulaşmaya ve sözde kaçak etkisine neden olur.

— Nils Werner

Analizde DFT ne zaman kullanılır? Benim tahminim, DTFT'yi kullanmak istediğiniz matematik tarafından geliyor, çünkü eserleri hesaba katmanıza gerek yok ve yazılım katmanına indiğinizde, masaya getirdiği tüm problemlerle DFT'ye geçiyorsunuz.

— Nils Werner

DTFT, sonsuz sayıda örnek alırken bir noktayı kanıtlamanın matematiği daha kolay olduğunda (kağıt ve / veya tebeşirden tasarruf sağlar) kullanılır. Bu, gerçek dünyada aslında işe yaramaz olduğu anlamına gelir (yeterli örneklere sahip olmadan önce çok öleceksiniz).

DFT, periyodik olsun ya da olmasın, çalışmak için yararlı sonlu sayıda örnek seçtiğinizde (size güzel bir sonlu boyutta kare matris çarpı tam eşdeğeri verir) (kare uzunluğunun periyodikliğinin bazı insanların zihinlerinde başka bir yanılsama olduğunu varsayarsak) matematiği daha izlenebilir hale getirmek için). Bu nedenle bir DFT kullanmak genellikle DTFT'de gerekli olmayan bir pencere (başka bir şey değilse dikdörtgen) anlamına gelir. Bu pencere bazen kötü yapay nesnelerin yanı sıra DFT'nin dezavantajı olan pencere dışındaki sinyal hakkında açık bilgi kaybı ile birlikte gelir.

— hotpaw2
kaynak

+1 ama DFT'nin örtük periyodikliğinin neden bir yanılsama olduğu konusunda biraz ayrıntı verebilir misiniz?

— Deve

Varsayım, birçok yaygın kullanımda (ses vb.) DFT penceresinin dışındaki gerçek verilerle tutarsız

— hotpaw2

Seni iptal ettim, ama neden DFT'nin verilerin periyodik olduğunu varsaymasının bir yanılsama olduğunu söylüyorsun? Bir soru yaparsam cevap verebilir misiniz?

— Ağustos'ta TheGrapeBeyond

Matematik, İngilizce kullanım, psikoloji veya felsefe yığını değişim siteleri için iyi bir soru olabilir. Antropomorfize edici operatör fonksiyonları ilginç bir insan davranışı olabilir.

— hotpaw2

-2

DFT, periyodik bir sinyalin sınırlı sayıda örneğinin dönüştürülmesidir. DTFT bir gelen tüm numune sinyalinin dönüşüm olduğunu için ve giriş yani ille periyodik. $-\infty$ $+\infty$

— Ayushi
kaynak