Bilinear dönüşümüne alternatifler var mı?

Analog bir filtreye dayalı bir dijital filtre tasarlarken genellikle bilinear dönüşümü kullanırız . Ayrı bir transfer fonksiyonu yaklaştığı analog (sürekli) transfer fonksiyonu A ( ler ) biz yerine$D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

burada örnekleme dönemidir. Alternatif olarak, kesintisiz bir transfer fonksiyonu yaklaştığı A bir ( ler ) ayrı ayrı transfer fonksiyonu ile ilgili D ( z ) biz yerine$T$$A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

Bu tür dönüşümleri gerçekleştirmenin alternatif yöntemleri var mı? Daha iyi yaklaşımlar var mı?

Kutuplar s düzleminin sol yarısında ise analog filtreler stabildir (soldaki şekil) ve kutuplar birim çemberin içindeyse dijital filtreler stabildir (sağdaki şekil). Bu yüzden matematiksel olarak analogdan dijitale dönüştürmek için gereken her şey, yarım uzaydan birim diske ve Ω Ω ekseninden birim daireye bir (konformal?) | z | = 1 . Bunu yapan herhangi bir dönüşüm, ikili dönüşüme alternatif olması için olası bir adaydır.$\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

İyi bilinen yöntemlerden ikisi, dürtü değişmezliği yöntemi ve eşleşen Z-dönüşümü yöntemidir . Kavramsal olarak, her ikisi de aşina olduğumuz sürekli bir dalga biçimini örneklemeye benzer. Ters Laplace dönüşümünü ve Z dönüşümü Z olarak belirtirken, her iki yöntem de analog filtrenin darbe tepkisinin hesaplanmasını içerir.$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

ve örnekleme , bir örnekleme aralığının en T önlemek aliasing şekilde yüksek yeterlidir. Dijital filtrenin transfer fonksiyonu daha sonra örneklenen diziden a [ n ] olarak elde edilir.$a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

Ancak, ikisi arasında anahtar farklar vardır.

Darbe değişmezliği yöntemi:

Bu yöntemde, analog transfer fonksiyonunu kısmi kesirler olarak genişletirsiniz ( Peter tarafından belirtilen Z dönüşümünde değil ).

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

$C_m$$\alpha_m$

Başarısız olmasının nedeni de oldukça açık. Payda ile aynı derecede payda bir polinomunuz varsa, ters dönüşümden sonra örneklenemeyen bir delta işlevi verecek serbest duran bir sabit teriminiz olacaktır.

$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

Eşleşti Z-dönüşümü

$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

Her iki yöntemin sınırlamasını kolayca görebilirsiniz. Darbe değişmezi sadece filtreniz düşük geçişli ise ve eşleşen z-dönüşüm metodu bant durdurucu ve bant geçişli filtreler için uygulanabilirse (ve Nyquist frekansına yüksek geçiş) uygulanabilir. Bunlar ayrıca uygulamada örnekleme oranıyla sınırlıdır (sonuçta, yalnızca belirli bir noktaya kadar gidebilirsiniz) ve takma ad etkilerinden muzdariptir.

Bilinear dönüşümü pratikte en yaygın kullanılan yöntem ve yukarıdaki iki akademik çıkarlar için oldukça fazla. Analog'a dönüş gelince, üzgünüm ama bilmiyorum ve orada neredeyse hiç analog filtreler kullandığım için çok yardımcı olamam.

$s$$z$

Bazı örnekler:

Eşleşen Z Dönüşümü

$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

Kısmi kesir genişlemesinin her bir parçasının dönüşümü doğrudan kullanılarak yapılır:

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

Simpson'ın Kuralı

Bilinear dönüşümün bir yorumu , Trapez Kuralı kullanarak yaklaşık entegrasyonla sürekliden ayrık zamana dönüşümün bir yoludur .

Yaklaşık entegrasyon için daha doğru bir teknik, Simpson Kuralı'nı kullanır. Bu yaklaşım kullanılırsa, sonuçta ortaya çıkan haritalama şöyledir:

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$