Laplace dönüşümünün sezgisel yorumu

Bu yüzden Fourier dönüşümlerini kavrayacağım. Sezgisel olarak şimdi kesinlikle ne yaptığını anlıyorum ve yakında matematikle ilgili bazı dersleri takip edeceğim (böylece asıl konu). Ama sonra laplace dönüşümü hakkında okumaya devam ediyorum ve orada bir şekilde kaybediyorum. Bir sinyalin anı nedir? Fourier dönüşümü neden laplace dönüşümü için özel bir durum? Laplace dönüşümüyle nasıl başa çıkabilirim?

Bu soruyu sormadan önce şu kaynaklara baktım:

Bir sistemin "dürtü yanıtı" ve "frekans yanıtı" ile kastedilen nedir?

Farklı frekans alanları nasıl ayırt edilir?

Genlik ve Frekans Tepkisi

Fourier dönüşümü neden bu kadar önemli?

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Fourier dönüşümleri hakkında bir bilginiz varsa, muhtemelen sinyalleri frekans alanına dönüştüren kavramsal bir modeliniz vardır. Laplace dönüşümü, diğer frekans etki alanı dönüşümlerinden (esas olarak Laplace dönüşümünün istenen bir eşdeğeri olan Z dönüşümü gibi) ayırmak için sinyalin - genellikle "S alanı" olarak adlandırılan alternatif bir frekans alanı temsili sağlar.

Bir sinyalin anı nedir?

Kuşkusuz, Laplace dönüşümünün Fourier dönüşümünün bize faz ve genlikten nasıl bir açıklama verdiğine benzer şekilde, anından bir sinyalin bir tanımını verdiğinin farkındasınız.

Geniş bir şekilde konuşursak, bir örneğin bir sinyalin ortalama değerinden nasıl saptığı düşünülebilir - ilk an aslında ortalama, ikincisi varyans vb. (Bunlar topluca "dağıtım anları" olarak bilinir)

F (t) fonksiyonumuz göz önüne alındığında, n'nci momentimizi vermek için n'inci türevi t = 0'da hesaplayabiliriz. Bir sinyal, faz ve genlik kullanılarak tamamen tarif edilebildiği gibi, tüm türevleri tarafından tamamen tarif edilebilir.

Fourier dönüşümü neden laplace dönüşümü için özel bir durum?

İki taraflı laplace dönüşümüne bakarsak:

Bir ikamesinin tanıdık Fourier dönüşüm denklemini vereceği oldukça açık olmalıdır :$s=i\omega$

Bu ilişki hakkında bazı notlar var ( http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform ) ancak matematik oldukça şeffaf olmalıdır.

Fourier dönüşümü neden laplace dönüşümü için özel bir durum?

Laplace dönüşümü 2B karmaşık değerler yüzeyi üretirken, Fourier dönüşümü 1D karmaşık değerler dizisi üretir. Fourier dönüşümü, Laplace dönüşümünü j ekseni boyunca dilimlediğinizde elde ettiğiniz değerdir. Örneğin, basit bir düşük geçiş filtresi , menünün solundaki S düzleminde tek bir kutba sahiptir:$H(s)=\frac{1}{s+1}$

Yandan bakıldığında, bu Laplace dönüşümünün büyüklüğü, bir kutup oluşturur ve kutup, o noktada genliği sonsuza sonsuzluğa yükselten bir çadır direği gibi hareket eder (ve sonsuzluktaki genliği sıfırdan uzağa düşüren zımni sıfır) herhangi bir yönde olsun):

Şimdi yüzeyin değerini yalnızca j ekseni boyunca alırsanız, bu Fourier dönüşümüdür. Yukarıdaki resimde kırmızı alçak bir filtre olduğunu görebileceğiniz kırmızı eğridir. Direği başlangıç ​​noktasından daha uzağa taşırsanız, çadır aynı yönde hareket eder ve j ekseni boyunca dilim düşerek hem kazancı azaltır (toplam kazanç ekleyerek telafi ederiz) hem de kesme frekansını arttırır. Bunun gibi bazı animasyonlar yapmayı kastediyorum ...

http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733

https://dsp.stackexchange.com/a/9579/29

Gördüğüm Laplace dönüşümünün en sezgisel açıklaması :

İlk bakışta, Laplace dönüşümünün stratejisinin Fourier dönüşümü ile aynı olduğu görülmektedir: dalga biçimi ayrıştırmak için zaman alanı sinyalini bir dizi temel fonksiyonla ilişkilendirin. Doğru değil! Matematik aynı olmasına rağmen, iki tekniğin arkasındaki mantık çok farklıdır.

Laplace dönüşümü, sistemin üstel olarak çürüyen çeşitli sinüzoidlerle dürtü yanıtını araştırıyor olarak görülebilir. İptal üreten dalga formlarına kutup ve sıfır denir.

Bu, her için frekans cevabını tanımlamak yerine, bir sistemin diğer tüm noktalardaki davranışını belirleyen küçük bir özellik noktası seti ( frekans tepkisi olan -plane kısmı dahil) tanımlamamızı sağlar .$\omega$$s$$s=j\omega$

Bir kitapta bunun için güzel bir benzetme var:

Şimdi, tren hattı boyunca yükseklik ve mesafe arasındaki ilişkiyi iletkeninkine kıyasla nasıl anladığınızı düşünün. Yüksekliği doğrudan yol boyunca ölçtüğünüz için, haklı olarak ilişki hakkında her şeyi bildiğinizi iddia edebilirsiniz. Karşılaştırma olarak, iletken aynı tam bilgiyi bilir, ancak daha basit ve daha sezgisel bir biçimde: yol boyunca düşüşlere ve kamburluğa neden olan tepelerin ve vadilerin konumu. Sinyal tanımınız binlerce ayrı ölçümden oluşabilse de, iletkenin sinyale ilişkin açıklaması sadece birkaç parametre içerecektir.