Neden “sıfır doldurmanın frekans çözünürlüğünü gerçekten artırdığını” söylüyoruz?

İşte bir sinüsoid frekansı f = 236.4 Hz(10 milisaniye uzunluğunda; N=441örnekleme hızında noktaları vardır fs=44100Hz) ve sıfır dolgusu olmadan DFT'si :

DFT'ye bakarak verebileceğimiz tek sonuç: "Frekans yaklaşık 200Hz'dir".

İşte sinyal ve DFT'si, büyük bir sıfır dolgu ile :

Şimdi çok daha kesin bir sonuç verebiliriz : "Spektrumun maksimum değerine dikkatle bakarak, 236Hz frekansını tahmin edebilirim" (Yakınlaştırdım ve maksimumun 236'ya yakın olduğunu buldum).

Sorum şu: Neden "sıfır doldurma çözünürlüğü artırmıyor" diyoruz ? (Bu cümleyi çok sık gördüm, sonra "sadece enterpolasyon ekler" derler.)

=> Örneğimde, sıfır dolgu daha doğru bir çözünürlükle doğru frekansı bulmama yardımcı oldu!

Çözümün bu bağlamda çok özel bir tanımı vardır. Bu , yakındaki frekanslarda iki ayrı tonu çözme yeteneğiniz anlamına gelir . Spektrum tahmininizin örnek oranını artırdınız, ancak örneğin 236 Hz ve 237 Hz'de olabilecek iki ton arasında ayrım yapma yeteneği kazanmadınız. Bunun yerine, ne kadar sıfır dolgu uygularsanız uygulayın, tek bir damla halinde "birlikte eriyeceklerdir".

Çözünürlüğü arttırmanın çözümü, sinyali daha uzun bir süre gözlemlemek, daha sonra daha büyük bir DFT kullanmaktır. Bu, genişliği DFT boyutu ile ters orantılı olan ana loblarla sonuçlanacaktır, bu nedenle yeterince uzun süre gözlemlerseniz, birbirine yakın olan birden fazla tonun frekanslarını gerçekten çözebilirsiniz.

-

Bunun nasıl oynandığını görmek için, iki sinyalin eklenmesinin yakınlaştırılmış FFT'sinin bir grafiği: orijinal sinüzoidiniz ve frekansı 0 ila 100 Hz arasında değişen bir.

İkisini ayırt edebileceğiniz (çözebileceğiniz), yalnızca grafiğin 100Hz fark ucuna doğru (burada sol taraf).

Aşağıdaki grafiği oluşturmak için Scilab kodu.

f = 236.4;
d = 10;
N=441;
fs=44100;
extra_padding = 10000; 

t=[0:1/fs:(d/1000-1/fs)]
ff = [0:(N+extra_padding-1)]*fs/(N+extra_padding);

x = sin(2*%pi*f*t);

XX = [];

for delta_f = [0:100];
    y = sin(2*%pi*(f+delta_f)*t);
    FFTX = abs(fft([x+y zeros(1,extra_padding)]));
    XX = [XX; FFTX];
end

mtlb_axis([0 1300 0 500])

figure(1);
clf
[XXX,YYY] = meshgrid(ff,0:100);
mesh(XXX(1:100,[50:90]),YYY(1:100,[50:90]),XX(1:100,[50:90]))

"Çözüm" terimi, iki farklı anlam kullanırken iletişim kurmaya çalışan insanları karıştırabilen birden fazla anlama sahiptir.

Optik anlamda, bulanık bir damla yerine yakındaki açıkça ayrılmış iki noktayı (veya spektrumdaki iki bitişik tepe noktasını) çözebilmek, sıfır dolgu yardımcı olmaz. Sıfır dolgusunun çözünürlüğü artırmadığını belirtirken bu muhtemelen en çok kullanılan anlamdır.

Bir kişinin çözünürlük gereksinimi spektral pikler arasında bir daldırma gerektiriyorsa (örneğin minimum 3 dB düşürme), çözünürlük FFT bölme aralığından bile daha düşük olacaktır, örneğin Fs / N, hatta 2X ila 3X veya daha fazlası, kullanılan pencereye bağlı olarak. Çözünürlük için daha zayıf bir gereksinim, DFT'nin dik temel vektörlerinin, örneğin Fs / N'nin frekans aralığı olabilir.

Noktaları çizme açısından, evet, sıfır dolgu, DPI (inç başına çizim noktaları) çözünürlüğünde olduğu gibi, çizmeniz için daha fazla puan verecektir. Bu, göz küresi ile ekzema almayı kolaylaştırabilir. Bununla birlikte, herhangi bir sıfır dolgusu olmadan çok yüksek kaliteli bir arsa enterpolasyonu (Sinc enterpolasyonu) yaparak alacağınız aynı noktalardır, bu nedenle sıfır dolgusu olmadan başka türlü hesaplanamayacak hiçbir bilgi eklemezler.

Zift izleme açısından, pencereli sıfır dolgulu olmayan bir FFT sonucunun parabolik veya Sinc enterpolasyonu (FFT sonuç kutuları arasında enterpolasyon), daha hesaplamalı olarak daha yoğun daha uzun sıfır dolgulu bir FFT grafiğinden olduğu kadar iyi bir sonuç verebilir. Böylece sıfır dolgusu, sıfır dolgulu ve enterpole edilmemiş pik toplamadan daha iyi bir adım izleme sonucu verir, ancak genellikle sadece enterpolasyon kullanmaktan çok daha az verimli olur.

Örneğinize parazit ekler, ancak sinyalden biraz daha az, sıfır dolgulu zirvenin sıfır olmayan dolgulu zirve kadar yanlış olabileceğini göreceksiniz. Bu nedenle, daha genel bir durumda, "doğru" frekansı öncekinden daha doğru bir şekilde bulamayabilirsiniz. Sıfır dolgu, gürültü nedeniyle sadece yanlış sonucu enterpole eder, bu da çözünürlüğü artırmamasının başka bir nedeni.