Ergodik ve durağan arasındaki fark nedir?

Bu iki kavramı birbirinden ayırt etmekte zorlanıyorum. Bu şimdiye kadarki anlayışım.

Durağan bir süreç, istatistiksel özellikleri zamanla değişmeyen stokastik bir süreçtir. Tam anlamıyla durağan bir süreç için bu, ortak olasılık dağılımının sabit olduğu anlamına gelir; Geniş anlamda durağan bir süreç için, bu 1. ve 2. anların sabit olduğu anlamına gelir.

Ergodik bir süreç, varyans gibi istatistiksel özelliklerinin yeterince uzun bir örneklemden çıkarılabileceği bir süreçtir. Örneğin, eğer ortalama süre yeterince uzunsa, örnek ortalaması sinyalin gerçek ortalamasına yakınlaşır.

Şimdi bana öyle geliyor ki ergodik olmak için bir sinyalin durağan olması gerekecek.

• Ve ne tür sinyaller durağan olabilir ama ergodik olmaz?
• Bir sinyal tüm zamanlar için aynı varyansa sahipse, örneğin zaman-ortalama varyansı gerçek değerle nasıl birleşemez?
• Peki, bu iki kavram arasındaki gerçek ayrım nedir?
• Bana, ergodik olmadan durağan veya durağan olmadan ergodik bir süreç örneği verebilir misiniz?

Rastgele bir süreç, ele alınan her bir zaman için bir tane olmak üzere, rastgele değişkenler topluluğudur. Tipik olarak, bu sürekli bir zaman olabilir ( $-\infty < t < \infty$ ) ya da ayrık zaman (bütün tamsayılar $n$ ya da her zaman anları $nT$$T$ numune aralığı olan).

• Durağanlık , rastgele değişkenlerin dağılımını ifade eder . Özellikle, sabit bir işlemde, tüm rastgele değişkenler her pozitif tamsayı için daha genel olarak aynı dağıtım işlevi, var $n$ ve $n$ zaman anlarında $t_1, t_2, \ldots, t_n$ , ortak dağıtımı $n$ rastgele değişkenler $X(t_1), X(t_2), \cdots, X(t_n)$$X(t_1+\tau), X(t_2+\tau), \cdots, X(t_n+\tau)$ eklem dağılımı ile aynıdır. Diğer bir deyişle, tüm zamanlarındeğişmezlerini$\tau$ değiştirirsek, sürecin istatistiksel açıklaması hiç değişmez:süreç durağandır.
• Ergodiklik ise rastgele değişkenlerin istatistiksel özelliklerine değil , örnek yollara , yani fiziksel olarak ne gözlemleyeceğinize bakar . Rastgele değişkenlere geri dönersek, rastgele değişkenlerin bir örnek uzaydan gerçek sayılara eşlemeler olduğunu hatırlayın ; Her sonuç gerçek bir sayıya eşlenir ve farklı rastgele değişkenler tipik olarak verilen herhangi bir sonucu farklı sayılara eşler. Bu yüzden, hayal bu bir sonuç sonuçlandı deneyini bazı daha yüksek olmak $\omega$ sürecinde tüm rastgele değişkenlerin örnek uzayında, ve bu sonuç (tipik olarak farklı) gerçek sayılar üzerine haritalanmıştır: özel olarak, rastgele değişkenin $X(t)$ eşlendi$\omega$ gerçek bir sayı için biz ifade eder$x(t)$ . Numaraları $x(t)$ bir dalga formu olarak, olanörnektekabül eden bir yol$\omega$ ve farklı sonuçlar bize farklı numune yolları verecektir. Ergodiklik daha sonra örnek yolların özellikleriyle ve bu özelliklerin rastgele işlemi içeren rastgele değişkenlerin özellikleriyle nasıl ilişkili olduğunu ele alır.

Şimdi, örnek yolu için $x(t)$ bir mesafede sabit bir süreç, biz hesaplayabilir zaman ortalama

$$\bar{x} = \frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$$ , ancak, yapar$\bar{x}$ mı ilgisi$\mu = E[X(t)]$ ,ortalamarasgele sürecin? (Bu madde hangi değeri yok Not bu$t$ kullandığımız, tüm rastgele değişkenler aynı dağılımına sahiptir ve ortalama varsa çok) (aynı ortalamaya sahip olan). OP'nin dediği gibi, bir örnek yolunun ortalama değeri veya DC bileşeni, süreçergodikve durağanolması koşuluyla, örnek yol yeterince uzun gözlenirse, sürecin ortalama değerine yakınlaşır.İki hesaplamanın sonuçlarını bağlamak ve bu limiti iddia etmek $$\lim_{T\to \infty}\bar{x} = \lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$$ eşittir Bu eşitlik için geçerli olan bir işleminortalama-ergodikolduğu ve bir otokovaryans işleviözelliğine sahipolması durumunda bir işlemin ortalama-ergodik olduğu:
$$\mu = E[X(t)] = \int_{-\infty}^\infty uf_X(u) \,\mathrm du.$$ C X ( τ ) lim T → ∞ 1$C_X(\tau)$ $$\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T C_X(\tau) \mathrm d\tau = 0.$$

Bu nedenle, tüm durağan süreçlerin ortalama-ergodik olması gerekmez. Ancak başka türden ergodiklik türleri de var. Örneğin, için otokovaryans-ergodik işlemi, sonlu bir segmentin otokovaryans fonksiyonu (söylemek örnek yol içinde otokovaryans fonksiyonu yakınsak işlemin olarak bir battaniye açıklamada bir süreç çeşitli formların herhangi anlamına gelebilir ergodik mi yoksa belirli bir formu anlamına gelebilir;. bir sadece söyleyemem,$t\in (-T, T)$$x(t)$$C_X(\tau)$$T\to \infty$

İki kavramın arasındaki fark bir örnek olarak, varsayalım $X(t) = Y$ tüm $t$ dikkate alınmaktadır. Burada $Y$ rastgele bir değişkendir. Bu ise , her: sabit bir işlem $X(t)$ (yani, dağılımı aynı dağılımına sahip $Y$ ), aynı ortalama $E[X(t)] = E[Y]$ , varyans aynı vs .; her bir $X(t_1)$ ve $X(t_2)$ aynı eklem dağılımına sahip (dejenere olmasına rağmen) vb. Ancak süreç ergodikdeğildir,çünkü her örnek yolu bir sabittir. Spesifik olarak, bir deneyin bir denemesi (sizin tarafınızdan veya daha üstün bir varlık tarafından gerçekleştirildiği gibi)$Y$$\alpha$ değerine sahipolmasıyla sonuçlanırsa, o zaman bu deneysel sonuca karşılık gelen rastgele işlemin örnek yolutüm t için$\alpha$ değerine sahiptirve Örnek yolunun DC değeri, E [ X ( t ) ] = E [ Y ] değil, α'dır.$t$$\alpha$$E[X(t)] = E[Y]$(ne kadar sıkıcı) örnek yolunu gözlemlemeniz önemli değil. Paralel bir evrende, deneme $Y = \beta$ ile sonuçlanacak ve bu evrendeki örnek yol tüm t için $\beta$ değerine sahip olacaktır . Bu gibi önemsizlikleri durağan süreçler sınıfından çıkarmak için matematiksel özellikler yazmak kolay değildir ve bu nedenle bu ergodik olmayan durağan rastgele bir işlem için çok az bir örnektir.$t$

Bir rasgele süreç olabilir değil durağan ama bir ergodik? O N0 , ergodik biz düşünmek mümkün olan her yolu birinde ergodik anlamına ise: örneğin, ölçtüğümüz halinde kısmını örnek yol uzun bir bölümü sırasında zaman $x(t)$ en değerine sahip $\alpha$ , bu iyi bir tahmindir $P(X(t) \leq \alpha) = F_X(\alpha)$ , (ortak) değeri CDF $F_X$ bir $X(t)$ eğer dağıtım fonksiyonlarına göre işlemin ergodik olduğu varsayılırsa,$\alpha$ 'da. Ama, bizyapabilirsinizolan rasgele süreçler varolmayansabit ama yine de vardırortalama-ergodic veotokovaryans-ergodic. Örneğin, işlem dikkate $\{X(t)\colon X(t)= \cos (t + \Theta), -\infty < t < \infty\}$$\Theta$$0, \pi/2, \pi$ ve $3\pi/2$ değerinde dört eşit değerde olasılık alır . Her bir $X(t)$ nin , genel olarak eşit ( eşit) değerlere sahip cos ( t ) , cos ( t + π / 2 ) = - sin ( t ) , cos ( t + π ) = alan dört ayrı rastgele değişkenin olduğuna dikkat edin. - çünkü$\cos(t), \cos(t+\pi/2)=-\sin(t), \cos(t+\pi) = -\cos(t)$ ve$\cos(t+3\pi/2)=\sin(t)$ , Genelde$X(t)$ ve$X(s)$ farklı dağılımlara sahipolduğunu görmek kolaydır, ve böylece işlem birinci dereceden bile değildir sabit. Öte yandan,

$$E[X(t)] = \frac 14\cos(t)+ \frac 14(-\sin(t)) + \frac 14(-\cos(t))+\frac 14 \sin(t) = 0$$ her$t$için0iken $$\begin{align} E[X(t)X(s)]&= \left.\left.\frac 14\right[\cos(t)\cos(s) + (-\cos(t))(-\cos(s)) + \sin(t)\sin(s) + (-\sin(t))(-\sin(s))\right]\\ &= \left.\left.\frac 12\right[\cos(t)\cos(s) + \sin(t)\sin(s)\right]\\ &= \frac 12 \cos(t-s). \end{align}$$ Kısaca, yöntem ortalama sıfır sahiptir ve oto-korelasyon (ve otokovaryans) işlevi zaman farkı sadece bağlıdır$t-s$ve işlem bu yüzdenbirgeniş anlamda durağan. Ancak bu birinci dereceden durağan değildir ve bu yüzden üst seviyelere de duramazsınız. Deney gerçekleştirilmiştir ve değeri Şimdi,$\Theta$bilinmektedir, açıkça olmalıdır örnek işlevi elde biri$\pm \cos(t)$ve$\pm \sin(t)$DC değeri vardır$0$olan eşittir$0$ ve otokorelasyon işlevi$\frac 12 \cos(\tau)$ile aynı,$R_X(\tau)$ve bu işlem çokolantüm durağan olmasa da, ortalama-ergodik ve ACF-ergodik. Kapanışta, sürecindağıtım işleviaçısından ergodik olmadığını, yani her bakımdan ergodik olduğu söylenemez.

Örnek fonksiyonların DC değerleri olduğu ve birbirinden farklı olduğu varsayımsal rastgele bir süreci ele alalım:

X, ₁ (t) = sabit x ortalama = ₁ (t),

X, ₂ (t) = sabit x ortalama = ₂ (±)

ve X 2 ( t ) ' nin zamansal ortalaması sabittir fakat eşit değildir. eğer işlemim sabitse X ( t 1 ) ve X ( t 2 ) eşittir ve RV'ler (Dilip'in cevabına bakınız)$X_1(t)$$X_2(t)$$X(t_1)$$X(t_2)$

Yani nin topluluk ortalaması sabittir.$X(t)$

Bu topluluk kaba olmayan zamansal ortalamaya eşit kesinlikle ve X- 2 ( t ) (kendilerini eşit değildir). Bu sabit, ancak çağrılabilir olmayan bir ergodik proses.$X_1(t)$$X_2(t)$

Buna karşılık, burada θ bir RV'dir ve ergodiktir.$X(t)=Acos(\omega t+\theta)$$\theta$

Umarım bu video (Florida Teknoloji Enstitüsü'nden. İletişim Teorisi dersinde Dr. Ivica Kostanic tarafından "Geniş duyusal, tam anlamıyla, ergodik sinyaller" başlıklı başlıklı) 16: 55'ten itibaren şüphelerinizi giderebilir.

Ergodik bir süreç, zamansal ortalamanın ergodik ortalamasını ikame edebileceğiniz bir süreçtir.

Gerçek ortalama, varyans, vb ... zaman içindeki bir işlemi takip ederek ve ortalamaları, vb. Tanımlanarak tanımlanır. Örneğin, boyutumun ortalamasını bilmek istiyorsanız, doğduğumda ortalamanız gerekir. ne zaman ölsem Açıkçası sonraki örnek durağan bir süreç değildir.

Ergodik ortalama, zamanla büyüklüğümü takip etmek yerine, zamanı donduracak ve ortalamayı farklı bireysel insanlardan örnek alacak olursanız olur. Bu iki aracın aynı olması için hiçbir sebep yoktur, bu yüzden büyüklüğümün süreci ergodik değildir.

Bu kötü bir örnek, ancak dengede bir gazın basit halini düşünürseniz daha da önem kazanıyor. Örneğin, ortalama kare hızı not edilir (ortalama fazla kez), ama çoğu zaman grup ortalama alınarak hesaplanır ⟨ V 2 ⟩ : Anlık gaz tüm moleküllerin kare hızının ortalaması t .$\bar{V^2}$$\left< V^2 \right>$$t$

$\bar{V^2}$$\left< V^2 \right>$

Ergodik hipotez genel durumda yanlıştır.

Karşı davaya bir örnek (yani, ergodik fakat durağan olmayan rastgele bir işlem ) için, deterministik bir kare dalga tarafından modüle edilen beyaz genlikli bir işlemi düşünün. Her bir örnek fonksiyonun zaman ortalaması, tüm zamanlardaki topluluk ortalaması gibi sıfıra eşittir. Yani süreç ergodik. Bununla birlikte, herhangi bir bireysel numune fonksiyonunun varyansı, zamana bağlı orijinal kare dalga bağımlılığını gösterir, bu nedenle işlem durağan değildir.

Bu özel örnek geniş anlamda durağandır, ancak yine de ergodik olan ancak geniş anlamda durağan olmayan ilgili örnekleri ele alabilir.

anladığım gibi, aşağıdaki örnek bir ergodik ve durağan süreci gösteriyor

 X1 X2 X3  | mean var ...
 1  2  3   | 2    1
 2  3  1   | 2
 3  1  2   | 2
 ----------

ortalama 2 2 2 var 1

çünkü her sütunun ortalama ve varyansı zaman boyunca sabittir ve her satırın ortalama ve varyansı zaman boyunca sabittir.