ISI'sız en uygun filtre

Dijital sinyali biçimlendirmek için kullanılan bir filtre verildiğinde ve filtre kombinasyonunun herhangi bir ISI'ye neden olmasını istemediğimiz göz önüne alındığında, hangi "eşleşen" filtre, SNR'yi en üst düzeye çıkaracaktır?$p(x)$$q(x)$

Eşleşen filtreler, sinyal / gürültü oranını en üst düzeye çıkarmak için dijital iletişimde kullanılır. Genellikle frekans alanında sınırlandığından ve sinyal-gürültü oranını (SNR) semboller arası neden olmadan iyileştirmek için alınan filtreye aynı filtre uygulanabilir, çünkü sinyali biçimlendirmek için kök yükseltilmiş kosinüs filtresi kullanılır. girişimi (ISI).

Bununla birlikte, sinyali şekillendirmek için daha az optimum bir filtre kullanılırsa, alıcıda aynı filtreyi kullanmak ISI'yi tanıtabilir. Alıcı uçtaki en iyi filtre seçiminin ne olduğu hemen belli değildir.

Benim anlayış SNR en üst düzeye çıkararak en üst düzeye çıkarılır, bu yüzden filtrelerin ISI ( için , bir tamsayıdır, sembol genişliğidir).$\int{p(x)q(x)dx}$$p(x)*q(x) = 0$$x=kT$$k$$T$

Muhtemelen, kısıtlamalar için bazı lagrange çarpanları ile bir Euler-Lagrange denklemini çözerek bunu yapabiliriz. Daha kolay bir yol var mı yoksa bir hata mı yapıyorum yoksa yanlış yöne mi gidiyorum?

AWGN kanalında eşitlenebilir sembollere sahip doğrusal modülasyon durumunda (çok yaygın bir durum), optimum yaklaşım, sembol dalga formuyla eşleşen bir filtre kullanmaktır, yani:

Eşleşen bir filtre kullanmak, her karar anında filtre çıkışında en uygun sinyal-gürültü oranını sağlar. Eşleşen bir filtrenin, giriş sinyali ile beklenen sembol dalga formu arasında kayan çapraz korelatör gibi davrandığını ve bu ikisini mümkün olan tüm gecikmelerle ilişkilendirdiğini hatırladığınızda kolay görülebilir. Optimum karar anında, filtrenin impuls tepkisi (tipik olarak birim enerjiye sahip olacak şekilde ölçeklendirilir), çapraz korelasyon işleminde sıfır gecikme durumuna benzer şekilde iletilen bir sembolle tam olarak hizalanır. Bu zaman değerinde, filtrenin çıkışı alınan verilere bağlı bir faktöre (örneğin BPSK için, eşleşen filtre veya ) ve bir gürültü terimine göre ölçeklenen enerji miktarına eşittir .$E_s$$-E_s$

Örnekleme anında filtre çıkışındaki gürültü enerjisi, filtrenin impuls tepkisinin zaman alanı şekline bağlı değildir, sadece impuls tepkisinin toplam enerjisidir (daha önce belirtildiği gibi, tipik olarak birlik). Bu nedenle, sinyal / parazit oranı, örnekleme anında filtre çıkışındaki sinyal enerjisi miktarını en üst düzeye çıkararak en üst düzeye çıkarılır. Sembol şekline uyacak alıcı filtreyi seçerek, sembol dalga formu aynı şekle sahip bir filtre dürtü yanıtı ile maksimum korelasyona sahip olduğundan bunu yaptık. Böylece, eşleşen filtre AWGN kanal durumu için maksimum SNR sağlar.

Bu el-sallama nöbeti ile (kesinlikle daha matematiksel bir titizlikle başarabilirsiniz, ama ben bir mühendisim ve bu ücretsiz bir hizmettir; Ayrıntılara girmek istiyorsanız, herhangi bir dijital iletişim teorisini kontrol edin metin), ideal olmayan ISI vakasını sorduğunuzu unuttuğumu düşünüyor olabilirsiniz. Korkmayın, çünkü iletilen nabız şeklini biliyorsanız, eşleşen filtrenin hala AWGN kanalı için en uygun seçim olduğunu iddia ediyorum.

Anahtar: ve nabız şekillendirme ve alıcı algılama filtrelerinin yanıtlarını ve son "birkaç" iletilen sembolü biliyorsanız, bu önceki sembollerin neden olduğu ISI'nın ne olacağını hesaplayabilirsiniz ve buna göre açıklayın$p(x)$$q(x)$ ; deterministik bir niceliktir. İstediğiniz sembol geçmişi miktarı, sahip olduğunuz ISI miktarıyla ilişkilidir, yani basamaklı filtre yanıtının kaç sembol periyodu yaydığı.

Elbette, önceki birkaç sembolün ne olduğunu kesinlikle bilmiyorsunuz; bunu yaptıysanız, ISI'nızın ihmal edilebileceği kadar yüksek bir SNR'de olabilirsiniz. Daha ilginç bir durumda, bu varsayımı yapamazsınız. Bunun yerine Viterbi algoritması kullanılarak bir maksimum olabilirlik dizi saptama yaklaşımı kullanılır. Bu işleme Viterbi eşitleme denir , çünkü bu modelde nabız şekli tarafından indüklenen ISI'yı iletim dalga formunuza uygulanan yumuşak değerli bir evrişimsel kod gibi ele alırsınız. Viterbi ekolayzırındaki ISI'nin süresi, bir evrişim kodundaki kısıtlama uzunluğuna benzer şekilde gerekli sayıda algoritma durumunu tanımlar.

Bu yaklaşım genellikle belirttiğiniz optimum olmayan darbe şekline sahip sistemlerde kullanılır; kayda değer bir örnek GSM'dir (çoklu sembol aralıklarında uzanan bir Gauss darbe şekli kullanır). Bu konuyla ilgili harika bir referans Sklar tarafından 2003 yılında yayınlandı:

B. Sklar, “Kafesleri sevmeyi nasıl öğrendim”, IEEE Sinyal İşleme Dergisi, s. 87-102, Mayıs, 2003