Karmaşık üsler LTI sistemlerinin tek özfonksiyonları mıdır?

12

Karmaşık bir üstel olmayan doğrusal zamanla değişmeyen (LTI) bir sistemin özfonksiyonunun bir örneği var mı ? Justin Romberg'in LTI Sistemleri'nin Özfonksiyonları, böyle özvektörlerin var olduğunu, ancak bir tane bulamadığımı söylüyor.

linear-systems theory eigendecomposition

— Vinod
kaynak

9

Bir LTI sisteminin tüm özfonksiyonları, kompleks üsler olarak tarif edilebilir ve karmaşık üsler, sinyal alanının tam bir temelini oluşturur. Bununla birlikte, dejenere olan bir sisteminiz varsa , yani> 1 boyutunda özdeğer uzaylarınız var demektir, o zaman karşılık gelen özdeğer için özvektörlerin hepsi alt uzaydaki vektörlerin doğrusal kombinasyonudur. Ve farklı frekansların karmaşık üstellerinin doğrusal kombinasyonları artık karmaşık üstel değildir.

Çok basit bir örnek: Bir LTI sistemi olarak kimlik operatörü 1, özdeğer 1 ile eigensubspace olarak tüm sinyal alanına sahiptir. Bu, ALL işlevlerinin özfonksiyonlar olduğunu gösterir.

— Jazzmaniac
kaynak

1

Tabii ki boş fonksiyonu hariç :) Sadece şaka

— Laurent Duval

1

Herhangi bir keyfi LTI sistemi için, karmaşık üstel, bildiğim kadarıyla, bilinen tek eigensignaldir. Öte yandan, ideal LPF'yi düşünün. fonksiyonu: kolayca öz sinyal olduğu görülebilir. Bu, öz sinyaller olarak karmaşık üstel değerler dışında sinyallere sahip LTI sistemlerinin (ideal LPF gibi) varlığına işaret eder (bu durumda ). $\operatorname{sinc}$

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

— CSR
kaynak

2

Bunun tam tersi: Kural, LTI sistemlerinin dejenere özdeğer uzaylarına ve dolayısıyla karmaşık üslü olmayan özvektörlere sahip olmasıdır. Gerçek çıktıya sahip bir sistem düşünün. O zaman , yani gerçek ve , o zaman zaten iki boyutlu bir eigensuzayınız var demektir ve gerçek sinüs bir özvektördür. Bu , için haline gelen faz yanıtı olan herhangi bir LTI sisteminin kalifiye olduğu anlamına gelir. İstisnadan ziyade kural budur.

H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

— Jazzmaniac

1

aslında, herhangi bir saf üstel, bir LTI sisteminin özfonksiyonudur. hızla yaklaşan miktarları ile uğraşmak sakıncası yoksa, üstel karmaşık veya gerçek olması için teorik bir gereklilik yoktur .

\infty

$\infty$

— robert bristow-johnson

1

Cevabınızı düzenlediğimi biliyorum (anlambilimle daha açık ve daha doğru hale getirmek için), ancak cevabınız yanlış. , genel bir LTI sisteminin genel bir özniteliği değildir . Bu ise olan belirli KZK için bir özfonksiyon fakat diğerleri için.

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

— robert bristow-johnson

1

açıkçası "hızlı bir şekilde ∞'a yaklaşan miktarlarla uğraşmak sakıncası yoksa" , "genellikle kabul edilen sinyal alanı ... kare entegre edilebilir fonksiyonların hileli Hilbert alanı" ile aynı değildir . tüm diyorum ki eğer girişinizse, o zaman sizin çıktınızdır ( Laplace ise LTI dürtü yanıtının dönüşümü ). benim için bir özfonksiyon gibi görünüyor. ancak CSR'nin belirtimi konusunda haklısınız.

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$

— robert bristow-johnson

1

@ Fat32, iyi davranılmış bir işlev alanı talep etmek istikrarla ilgili değildir ve gereksiz veya keyfi olmaktan uzaktır. Sinyal işleme teorisindeki yararlı sonuçların çoğu iyi davranılmış sinyal alanlarına dayanır. Spektral teorem özellikle yararlıdır ( en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ) ve bu teorem, olası bir seçim olduğu belirli fonksiyon uzaylarını gerektirir . Bu matematiksel çerçeveyi uygulamak (ve bana güvenmek istiyorsanız) istiyorsanız, özdil olarak önerdiğiniz sinyalleri kabul edemezsiniz.

L^{2}

$L^2$

— Jazzmaniac

0

Cevabımı açıkça ifade etmiştim --- görünüşe göre değil :-). Asıl soru şuydu: "Bir LTI sistemi için karmaşık üstel olanın yanı sıra özler var mı?" Yanıt, eğer sistemin LTI olduğu ancak başka bir şey bilinmediği gerçeği verilirse, onaylanmış tek eignensignal karmaşık üsteldir. Belirli durumlarda, sistemin ek özsignignları da olabilir. Verdiğim örnek, içtenlikle böyle bir özdeyiş olan ideal LPF idi. Sinc fonksiyonunun keyfi bir LTI sisteminin özü olmadığını unutmayın. LPF'yi ve içgüdüleri önemsiz bir duruma işaret etmek için örnek olarak verdim - x (t) = y (t) bir matematikçiyi tatmin edecek, ancak bir mühendis değil: ->. Eminim karmaşık üstel yanı sıra öz sinyal olarak diğer sinyalleri olan diğer özel önemsiz örnekleri ile gelebilir.

Ayrıca, çünkü cos ve günah genel olarak özdil değildir. Cos (wt) uygulanırsa ve çıkış A cos (wt + theta) ise, bu çıkış koşulun sabit bir katı olarak (teta 0 veya pi veya A = 0 hariç) ifade edilemez. bir sinyalin bir özsignal olması için gereklidir. Çünkü cos ve sin'ün özsignal olduğu durumlar olabilir, ancak bunlar özel durumlar ve genel değil.

CSR

— CSR
kaynak

Diğer cevabınıza yaptığım yorumu anladığınızdan emin misiniz? Mesele şu ki, gerçek LTI sistemleri için, özsignal olarak gerçek bir sinüs olması bekleniyor. Bu, tüm frekanslardaki tüm sinüslerin özsöz olduğu anlamına gelmez. Özellikle böyle oldukları kesin durumu verdim ve bu koşulun neden çoğu LTI sistemi tarafından karşılandığını açıkladım.

— Jazzmaniac

Ayrıca, anlamı biraz değiştirmek için cevabınızı düzenlediğinizi de unutmayın. "Rasyonel aktarım işlevi için" başka özümler yoktur "den" Rasgele sistemler için genel öz sinyaller yoktur. "Den oldukça büyüktür. Yani insanların cevabınızı doğru anlamadığı gibi koymak biraz fazla.

— Jazzmaniac

0

Belki dairesel simetriye sahip mercekler gibi uzamsal olarak değişmeyen çok boyutlu nesneler. Buna Fourier Bessel genişlemesi denir. Zaman için T yok ama evrişim frekansı alanı ilişkileri geçerli