Durum geçiş matrisini kullanarak bir sistemin durum-uzay geri dönüşünden gelen dürtü yanıtını nasıl bulabilirim?

Standart durum alanı gösteriminde temsil edilen bir lineerimiz olduğunu varsayalım:

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$ $$y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

Dürtü tepkisini almak için Laplace dönüşümünü almak mümkündür.

$$sX=AX+BU$$ $$Y=CX+DU$$

ve sonra transfer fonksiyonu için çözmek

$$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$$

Benzer şekilde, ayrık bir sistem için, dönüşümü $\mathcal{Z}$

$$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$$ $$y[n] = Cx[n] + Du[n]$$

dır-dir

$$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$$

Bu süreç biraz uzun görünüyor ve her bir çiftin ilk denklemlerinin çözümü olan durum geçiş matrisini kullanarak dürtü yanıtını bulmanın bir yolu olduğunu hatırlıyorum . Bunu nasıl yapacağını bilen var mı?$x$

İlk denklemde standart homojen olmayan ODE'yi çözerek duruma geçiş matrisini kullanarak soruna yaklaşabilirsiniz. Çözüm olan$\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$

$$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$$

burada . miktarı , olarak anlatacağım durum geçiş matrisi (ayrıca homojen ODE'nin çözümü) olarak adlandırılır (bunun için standart gösterimi hatırlamıyorum). Alarak , denklemi olur$x_0=x(0)$$e^{At}$$\Xi(t)$$x_0=0$$y(t)$

$$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$$

Yukarıdaki denklem, sistem impuls tepkisi ile kıvrık giriş olarak çıkışı verir ve gerçekten, doğrulamak için yukarıdaki denklemin Laplace dönüşümünü alabilirsiniz. Laplace transformu belirten olan s-etki zaman alanı haline ürünlerde ve kıvrım bulunur, elde ederiz$\Xi(t)=e^{At}$$(sI-A)^{-1}$

$$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$$

bu da sorunuzdakiyle aynı aktarım işlevini sağlar.

---

Tam Laplace dönüşümü yaklaşımının uzun olması hakkındaki yorumunuzla ilgili olarak, bunun böyle olduğunu söylememeliyim. Bununla birlikte, durum geçiş matrisi yaklaşımının uygulanması daha basit olabilir , çünkü onu içeren çeşitli işlemler basit matris çarpımları ve daha fazlası ile hesaplanabilir.