Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü

13

Ben elektronik, programlama ve benzerleri için genel bir cazibesi olan bir ortaokul öğrencisiyim. Son zamanlarda sinyal işleme hakkında bilgi ediniyorum.

Ne yazık ki, henüz çok fazla hesaplama yapmadım (beni affet), bu yüzden şeyler üzerinde biraz bulanıkım.

Bir sinyalin DTFT'sini hesaplayacak olsaydınız, o sinyalin veya gösterimi arasındaki fark ne olurdu ? $\sin$ $\cos$
DTFT ile girdiğiniz sinyalin zaman içinde ayrık olacağını anlıyorum, ancak dünyada frekans alanında nasıl sürekli bir sinyal elde edebilirsiniz?
Bu benim ikinci sorum olacak: DTFT nasıl faydalı? Çoğu uygulamada nerede kullanılmıştır ve neden?

Herhangi bir yardımı takdir ediyorum.

fourier-transform

— ElectroNerd
kaynak

İlk sorum için, sadece 90 ° faz dışı olduğunu tahmin ediyorum. Ancak, başka türlü gösteren bazı grafikler ürettim : i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/… i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/…

— ElectroNerd

Mükemmel sorular. Özellikle DSP'nin gençlerin zihnine nasıl getirildiğiyle ilgili oldukları için bu sorunlara bir cevap (lar) oluşturdum. (Bu, üniversite düzeyinde doğrudur). Bana bir e-posta çekin ve size bazı malzemeleri gösterebilirim (burada yayınlamak için çok dahil).

— Spacey

@Mohammad: Merhaba, benimle abidrahman2@gmail.com adresinden bu materyalleri paylaşabilir misiniz?

— Abid Rahman K

7

Eğitim yolunuzun ilk aşamasında sinyal işleme ile ilgilenmeniz harika.

Oraya ulaşmanın en iyi yolu, konuyla ilgili bazı tanıtım kitaplarını okumaktır. Başlamanız için birçok iyi ve ücretsiz çevrimiçi kaynak var. [Saygın editöre not: iyi tanıtım kitapları “yapışkan” için gerçekten iyi bir konu olabilir]. Bazen kullanırım

Kollarınızı hareket ettirmeniz gereken en önemli matematiksel kavramlardan biri “karmaşık” sayılardır. Açıkçası yanlış adlandırma çünkü gerçekten bu kadar karmaşık değil ve neredeyse tüm mühendislik matematiğini çok daha basit hale getiriyor. Matematikle ilgili her şey için bir başka harika ücretsiz kaynak http://www.khanacademy.org ve bu durumda özellikle http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra

İlk sorunuza dönelim: Fourier Dönüşümünün aslında dört farklı çeşidi vardır: Fourier Serisi (lisede görünme olasılığı yüksek), Fourier Dönüşümü, Ayrık Fourier Dönüşümü ve Ayrık Fourier Serisi. Hepsinde hem sinüs hem de kosinüs (veya esasen aynı şey olan karmaşık bir üstel) kombinasyonu kullanılır. Her ikisine de ihtiyacınız olacak.

Bir sinüs dalgasının sinüs ve kosinüs Fourier katsayılarını hesapladığınızı varsayalım. (Belirli koşullar altında) bir Kosinüs ve bir sinüs katsayısı hariç tüm Fourier katsayılarının sıfır olacağını göreceksiniz. Ancak, giriş sinüs dalgasının fazına bağlı olarak bu iki sayı hareket edecektir. [0.707 0.707] veya [1 0] veya [0 -1] veya [-0.866 0.5] vb. Alabilirsiniz. Bu iki sayının karelerinin toplamının her zaman 1 olacağını, ancak gerçek değerleri giriş sinüs dalgasının fazına bağlıdır.

Derin dalış yapmak istiyorsanız, şunu deneyin: http://www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

— Hilmar
kaynak

Merhaba Hilmar, cevap için teşekkürler! Karmaşık sayılarla biraz yaptım ve hemfikirim: nispeten basitler. Bunu duymak güzel. Biraz daha karıştıktan sonra, DTFT'ye bir sin ve cos giriş sinyalinin büyüklüğünü hesapladım ve genliğin hem sin hem de cos için aynı olduğunu buldum. Özellikle referans kitapları için teşekkürler, bir süre meşgul olacağım.

— ElectroNerd

2

Mevcut materyallere bakmak isteyebilirsiniz.

INFINITY Projesi: sinyal işleme tabanlı mühendislik eğitiminin lise sınıfına genişletilmesi

burada mevcut

— Dilip Sarwate
kaynak

Bu çok ilginç görünüyor; Bunu okuluma önerebilirim.

— ElectroNerd

1

DTFT Ayrık Zaman Fourier Dönüşümü, girişi ve frekans alanındaki çıkışı sürekli olduğundan ve periyot 2 * pi olduğu için ayrık bir Sonsuz Sinyal alır. Kullanımına gelince, tecrübelerime göre pratik amaçlarla kullanılan DFT (Ayrık Fourier Dönüşümü). Belirli koşullar altında, sonlu periyodik olmayan bir sinyalin DFT'sinin DTFT'nin eşit aralıklı örneklerinden başka bir şey olmadığını göstermek kolaydır. Genel olarak, diziyi zaman (veya boşluk) alanında sıfırlarsak, DTFT'den daha fazla örnek alırız.

Alt satırda DFT çok yararlıdır ve DFT eşit aralıklı DTFT örnekleri olarak görülebilir, daha fazla DTFT örnekleri almak için sinyal sıfır pad yapmak yardımcı olur.

— pv.
kaynak

Bu mantıklı: Zaman alanında örneklemeniz ne kadar uzun olursa, DTFT'yi hesapladıktan sonra çözünürlük o kadar iyi olacaktır. Bunu Python ve matplotlib ( Sine + sıfır dolgu , sıfır dolgu DTFT kullanarak) grafik yaptım Bu yapmak için düzgün bir hile

— ElectroNerd

Burada dikkatli olman gerektiğini söylemeliyim. Büyük bir yanlış anlama, sinyalin sıfır doldurulmasının frekans çözünürlüğünüzü arttırmasıdır - öyle değildir. Frekans çözünürlüğünüzü gerçekten artırmanın tek yolu daha fazla veriye sahip olmaktır - daha fazla alan adı örneği. Şimdi söyleniyor, eğer sıfır spektrumu, frekans spektrumunuza gerçekten hesapladığınız arasında enterpolasyonlu noktalarla bakmak istiyorsanız yardımcı olur.

— Spacey

1

Her şeyden önce, terminolojinin sıralanmasına yardımcı olur:

Zaman alanındaki bir fonksiyon sinyal olarak bilinir .
Frekans alanında bir fonksiyon spektrum olarak bilinir .

{bir}_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) marul n x d x

$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$

b_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) günah n x d x

$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$

s_{f} (x) = \frac{{bir}_{n}}{2} + Σ_{n = 1}^{\infty} {bir}_{n} marul (n x) + b_{n} s ben n (n x)

$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$

s_{f} (x) = s (x)

$s_f(x)=s(x)$

Bu denklemde, _n ve b _n sırasıyla ayrı spektrumun gerçek ve hayali kısımlarıdır. Bu nedenle, görebileceğiniz gibi, bir kosinüsün Fourier dönüşümü gerçek bir sayı olacak ve bir sinüs için hayali bir sayı olacaktır. T biz sinyal için tam süre boyunca entegre olduğu ayrılmaz yollara. Bu öncelikle, sinüzoidal olmayan sinyallerle (kare dalgalar, üçgen dalgalar, vb.) Analog devreleri analiz ederken en çok kullandığım harmonik analizde kullanılır. Peki ya sinyal periyodik değilse? Bu işe yaramaz ve Fourier dönüşümüne dönmeliyiz.

Fourier dönüşümü, sürekli bir sinyali sürekli bir spektruma dönüştürür. Fourier serisinden farklı olarak, Fourier dönüşümü, periyod olmayan fonksiyonun bir spektruma dönüştürülmesine izin verir. Periyodik olmayan bir fonksiyon her zaman sürekli bir spektrum ile sonuçlanır.

Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü, Fourier dönüşümü ile aynı sonucu elde eder, ancak sürekli (analog) bir sinyal yerine ayrık (dijital) bir sinyal üzerinde çalışır. DTFT sürekli bir spektrum üretebilir, çünkü daha önce olduğu gibi, periyodik olmayan bir sinyal her zaman sürekli bir spektrum üretecektir - sinyalin kendisi sürekli olmasa bile. Ayrık da olsa sinyalde sonsuz sayıda frekans mevcut olacaktır.

Sorunuzu cevaplamak için DTFT, dijital sinyaller üzerinde çalıştığı ve bu nedenle dijital filtreler tasarlamamıza izin verdiği için tartışmasız en yararlı olanıdır. Dijital filtreler uzakanalog olanlardan daha verimlidir. Çok daha ucuz, çok daha güvenilir ve tasarımı daha kolaydır. DTFT çeşitli uygulamalarda kullanılır. Başımın üstünden: sentezleyiciler, ses kartları, kayıt cihazları, ses ve konuşma tanıma programları, biyomedikal cihazlar ve diğerleri. Saf haliyle DTFT çoğunlukla analiz için kullanılır, ancak ayrı bir sinyal alan ve ayrı bir spektrum veren DFT yukarıdaki uygulamaların çoğuna programlanır ve bilgisayar biliminde sinyal işlemenin ayrılmaz bir parçasıdır. DFT'nin en yaygın uygulaması Fast Fourier Dönüşümüdür. Bu bulunabilir basit dönüşümlü algoritma var burada . Umarım bu yardımcı olur! Herhangi bir sorunuz varsa yorum yapmaktan çekinmeyin.

— Zetta Suro
kaynak

0

Pv. bahsedilen DFT, DTFT'yi "Frekans Alanı" nda örnekleyerek elde edilir. Bildiğiniz gibi, sürekli zaman sinyali örneklenerek ayrık zaman sinyali elde edilir. Bununla birlikte, sürekli zaman sinyalini ayrık zamanlı karşılığından mükemmel bir şekilde oluşturmak için, örnekleme hızı Nyquist oranından yüksek OLMALIDIR. Bunun gerçekleşmesi için sürekli zaman sinyalinin frekans sınırlaması olması gerekir.

DTFT ve DFT için hikaye bir şekilde tersine çevrilir. "Frekans" alanında sürekli DTFT'niz var. Temel olarak sürekli bir sinyali depolayamaz ve bir bilgisayarda işleyemezsiniz. Çözüm örnekleme! Böylece, DTFT'den örnek alıp sonucu DFT olarak adlandırıyorsunuz. Bununla birlikte, DTFT'yi DFT'den mükemmel bir şekilde yeniden oluşturmak için örnekleme teoremine göre, DTFT'nin zaman alanı muadili "zaman" sınırında olmalıdır ZORUNLU. Bu yüzden DFT'yi almadan önce pencereyi kullanmak gerekir.

— Sina
kaynak