FIR filtreleri kutup içermelerine rağmen neden hala kararlıdır?

15

FIR filtreleri nasıl daima kararlıdır?
Kutup içerdikleri için stabilite sorunlarından diğerlerinden daha fazla etkilenmemeleri gerekir mi?

filters finite-impulse-response

— user7277
kaynak

FIR, tüm sıfırları birim çemberde bulunuyorsa kararlıdır

— dato datuashvili

2

Doğru değil: FIR her zaman kararlıdır ve sıfırlar birim çemberin dışında dahil olmak üzere istedikleri her yerde olabilir. Örnek: [1-6 11-6] filtresinin z = 1, 2 ve 3'te sıfırlar var

— Hilmar

Yine, @Hilmar, FIR'ın nasıl uygulandığına bağlıdır. Kesik IIR (TIIR) olarak uygulanan FIR'lar içeride sabit olmayabilir. basit bir enine FIR filtresi olarak uygulanır, evet, bu her zaman stabildir. "hızlı evrişim" (FFT ve "üst üste ekleme" veya "üst üste kaydetme" kullanılarak) uygulansa bile kararlıdır. ve bazen bir TIIR filtresi olarak uygulandığında kararlıdır (dahili IIR kararlıysa). ancak TIIR olarak uygulanan bir FIR dahili olarak kararsız olabilir .

— robert bristow-johnson

8

FIR filtreleri yalnızca sıfır içerir ve kutup içermez. Bir filtre kutup içeriyorsa, IIR'dir. IIR filtreleri gerçekten kararlılık sorunlarından etkilenir ve dikkatle kullanılmalıdır.

DÜZENLE:

Biraz daha düşünce ve karalama ve google-ing'den sonra, umarım ilgili taraflar için tatmin edici olacak FIR direkleri sorusuna bir cevabım olduğunu düşünüyorum.

Görünüşte kirli olmayan bir FIR filtresinin Z dönüşümünden başlayarak: de RBJ yanıtında gösterilmiştir FIR kutupları pay ve payda çarpılarak ortaya çıkarile:

H (z) = \frac{b_{0} + b_{1} z^{- 1} + b_{2} z^{- 2} + \dots + b_{N} z^{- N}}{1}

$H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots + b_N z^{-N}}{1}$

H (z)

$H(z)$

z^{N}

$z^{N}$

Böylece

H (z) = \frac{b_{0} z^{N} + b_{1} z^{N - 1} + b_{2} z^{N - 2} + \dots + b_{N}}{z^{N}}

$H(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N}}$

N

$N$ kutuplarımızı genel bir FIR filtresinin kökeninde verir.

Bununla birlikte, bunu göstermek için, filtreye nedensellik varsayımı yerleştirilir. Gerçekten, nedenselliğin varsayılmadığı daha genel bir FIR filtresi düşünürsek: farklı sayıda kutupgörünür:

G (z) = \frac{b_{0} z^{k} + b_{1} z^{k - 1} + b_{2} z^{k - 2} + \dots + b_{N} z^{k - N}}{1}

$G(z) = \frac{b_0 z^{k} + b_1 z^{k-1} + b_2 z^{k-2} + \cdots + b_N z^{k-N}}{1}$

(N - k)

$(N-k)$

G (z) = \frac{b_{0} z^{N} + b_{1} z^{N - 1} + b_{2} z^{N - 2} + \dots + b_{N}}{z^{N - k}}

$G(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N-k}}$

Böylece, ben şu sonuca varıyorum:

(Orijinal sorunun cevabı) Genel olarak, bir FIR filtresinin her zaman Z düzleminin başlangıcında olmasına rağmen kutupları vardır. Asla birim çemberin ötesinde olmadıklarından, bir FIR sisteminin istikrarı için bir tehdit oluşturmazlar.
$N$ $k$ $N^{th}$ $(k=0)$ $N$ başlangıç noktasında kutupları .
$'H (z) = z^{- 1} = \frac{1}{z}$ $H(z) = z^{-1} = \frac{1}{z}$

— Kenneide
kaynak

2

IIR filtreleri aslında çok tehlikeli değil.

— user7358

19

$z=0$ .

tüm kutuplar birim çemberin içinde bulunduğundan, FIR filtresi görünüşte kararlıdır.

bu muhtemelen OP'nin düşündüğü FIR filtresi değildir, ancak aynı yerde sıfırla iptal edilen birim çemberin üzerinde veya dışında bir kutup içerebilen Kesik IIR filtreleri (TIIR) adı verilen bir FIR filtresi sınıfı vardır. bunun en basit örneği hareketli toplam veya hareketli ortalama filtresidir. ancak bir G / Ç perspektifinden bakıldığında, bu TIIR filtreleri FIR'dır.

ama naif olarak "istikrarı" garanti etmezdim. kontrol sistemi dilini kullanarak, TIIR filtresi "tamamen gözlenebilir" değildir ve kararlı görünebilir çünkü dürtü yanıtı sonlu uzunluğunda görünür, ancak filtre durumlarının içinde cehennem olabilir ve sonlu sayısal hassasiyetle, iç kararsızlık sonunda çıktıda görünür.

kendimizi "FIR filtrelerinin kutupları yok" fikrinden vazgeçmek zorundayız . doğru değil.

— robert bristow-johnson
kaynak

Matematiksel olarak FIR filtrelerinin kutupları olduğunu gösterebilir misiniz, çünkü görmüyorum.

— Jim Clay

Kutuplu bir FIR'ın en iyi örneği, Basamaklı Entegre-Tarak (CIC) filtresidir. Basit bir hareketli ortalama filtresi (1, 1, 1, 1 gibi katsayılar) ile başlar ve yinelemeli olarak yeniden yazar - böylece bir kutup ekler. Bkz. Bağlantı . Bunlar genellikle FPGA'larda aşağı dönüşümün ilk adımı olarak uygulanır, çünkü özyinelemeli formlarında hesaplamalı olarak uygulanması oldukça ucuzdur. Örnek olarak Graychip belgelerine bakın. Kararlılığı korumak için genellikle sabit bir noktada uygulanırlar.

— David

1

Sanırım katılmamaya karar vermeliyiz - Hogenauer'in orijinal makalesindeki özet "Decimation (örnekleme oranındaki azalma) ve enterpolasyon (örnekleme oranındaki artış) için bir sınıf dijital doğrusal faz sonlu dürtü yanıtı (FIR) filtreleri sunulmaktadır."

— David

4

N^{t h}

$N^{th}$

N

$N$

2

@CimClay, bir CIC hareketli toplam veya hareketli ortalama filtresi kesinlikle bir FIR filtresidir. IR'si F'dir. Normalde enine bir FIR filtresi olarak uygulanmaz, ancak MIPS ile ödemek istiyorsanız kesinlikle olabilir.

— robert bristow-johnson

14

"FIR filtrelerinin kutupları olduğunu matematiksel olarak gösterebilir misiniz, çünkü görmüyorum." - Jim Clay

Bu FIR'ın nedensel olduğunu varsayabilir miyiz?

$N$ $N+1$

Sonlu Darbe Yanıtı: $\quad h[n] = 0 \quad \forall \quad n>N, \ n<0$

FIR'ın transfer fonksiyonu:

\begin{aligned} H (z) & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} h [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = 0}^{N} h [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = 0}^{N} z^{- N} h [n] z^{N - n} \\ = z^{- N} \sum_{n = 0}^{N} h [N - n] z^{n} \\ = \frac{\sum_{n = 0}^{N} h [N - n] z^{n}}{z^{N}} \\ = \frac{h [N] + h [N - 1] z + h [N - 2] z^{2} + \dots + h [1] z^{N - 1} + h [0] z^{N}}{(z - 0)^{N}} \end{aligned}

$\begin{align} H(z) & = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} z^{-N} h[n] z^{N-n} \\ & = z^{-N} \sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^n \\ & = \frac{\sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^{n}}{z^N} \\ & = \frac{h[N] + h[N-1]z + h[N-2]z^2 + \cdots + h[1]z^{N-1} + h[0]z^N}{(z-0)^N} \\ \end{align}$

tek yapmanız gereken payı hesaba katmak ve sıfırların nerede olduğunu bileceksiniz. ancak tüm kutupların FIR filtresi için nerede olduğu oldukça açıktır. ve FIR filtresinin sırası kadar çok kutup var. bu kutupların frekans yanıtını etkilemediğini unutmayın. faz hariç.

— robert bristow-johnson
kaynak

6

Ben düzeltilmiş duruyorum. Açıklama için teşekkürler.

— Jim Clay

1

Aslında tanımı gereği. Sonlu enerji girdiğiniz ve Filtre enerji girişinin sadece bir katını (dürtü yanıtı sınırlı bir enerjiye sahiptir) maksimum vereceği için, elde edilen sinyal maksimum enerji girişinin katına sahip olacaktır. IIR filtrelerinin yapabildiği gibi rezonans edemez ve bu nedenle yükselemez. Bu Kenneides'in cevabının da arkasında.

— user7358
kaynak

evet, ve bu Kenneide'nin yanıtı kadar yanlış.

— robert bristow-johnson

2

H (z) = 1

$H(z)=1$

2

H (z) = 1 = \frac{z}{z}

$H(z) = 1 = \frac{z}{z}$

H (z) = z

$H(z)=z$

1

H (z) = z^{- 1}

$H(z) = z^{-1}$

z = 0

$z=0$

1

FIR filtresinin kutuplarının neden çıkarılabilir olduğuna hiç kimse dokunmadı, bu yüzden bunu aşağıda cevaplamaya çalıştım.

FIR filtreleri başlangıçta çıkarılabilir kutuplara sahip olacaktır, çünkü dürtü yanıtlarının sınırlılığı bunu gerektirir. Kutup etrafında, işlevi hala holomorfik (alanının her noktasında ayırt edilebilir) olacak şekilde tanımlamak mümkündür.

Riemann'ın bir teoremi, eğer bir alanın her noktasında (sonlu birçok nokta hariç) bir sinyal farklılaştırılabilirse, bu özel noktaların etrafında fonksiyonun bağlı olduğu bir mahalle vardır. Çıkarımlar bu teoremde iki yoldur, bu nedenle FIR filtrelerinin sınırlı bir dürtü yanıtı alması gerektiğinden, dürtü yanıtı birim çemberin içindeki her noktada farklılaştırılmalıdır. Böylece sinyal, tekillik olmaması için tutarlı bir şekilde uzatılabilir (yani kutuplar çıkarılabilir).

$z$

— Tom Kealy
kaynak

1

z

$z$

z

$z$

z

$z$

z^{- 1}

$z^{-1}$