Gerçek ayrık Fourier dönüşümü

Gerçek DFT ve DFT'yi ve ayrımın neden var olduğunu anlamaya çalışıyorum .

Bildiğim kadarıyla DFT temel vektörler için ve temsilini veriyor toplamı yazılır için tarihi sebeplerden dolayı toplam gidiş Fourier serisi için bir yol benzer içine yazmak yerine düşünmek için : Bu, Yüksek frekansların negatif frekanslarla aynı olduğu DFT: . $e^{i2\pi kn/N}$

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

Fourier Serisi ile benzerliğe devam eden gerçek DFT, Bu, ile eşleştirme olarak görüntülenebilir , toplamın ila arasında değiştiği DFT . Bu, bir iki gösterimini birbirine bağlayan eşleşmesine çok benzer. Fourier Serisi:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

Benim sorumo zaman DFT neden gerçek DFT'den çok daha yaygın? Gerçek DFT'nin gerçek değerli sinüsleri ve kosinüsleri temel olarak kullandığı ve böylece geometrik resmi insanların daha çok istediği şekilde daha iyi temsil ettiği için beklenebilir. Üstel cebir daha basit olduğu için DFT ve sürekli Fourier Dönüşümünün neden teorik olarak tercih edileceğini görebiliyorum. Ancak daha basit cebiri göz ardı ederek, pratik hesaplamalı uygulanan bir bakış açısından DFT neden daha yararlı olur? Sinyallerinizi karmaşık üslerle temsil etmek neden sinyalin sinüslere ve kosinüslere ayrılmasından ziyade çeşitli fizik, konuşma, görüntü vb. Ayrıca yukarıdaki sergimde eksik olduğum bir şey varsa bilmek istiyorum: Ben '

dft

— user782220
kaynak

Fourier dönüşümü gerçek ayrı bir uzunlukta olmasıyla, bir artıklık gerçek bir sekansında olağan DFT uygulanması bu nedenle önemlidir gerçek sekans dönüşümü karşılık gelen , dizisi, tam olarak dizisinin karmaşık eşleniğidir. . O halde, sadece dönüşümün pozitif frekanslarına karşılık gelen girişlere ihtiyaç duyulması mantıklıdır. Bu bağlamda sözde Hartley dönüşümüyle de karşılaşılacaktır . Her iki yaklaşım da kullanılır.

N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

BTW: Bu iki makaleyi hem gerçek Fourier dönüşümü hem de Hartley dönüşümü üzerine okumanızı şiddetle tavsiye ederim ; DFT'den ayrı olarak bu yöntemlere olan ilgiyi açıklama konusunda iyi bir iş çıkarıyorlar.

RDFT matrisinin ve DFT matrisinin bir temel değişikliğiyle ilişkili olduğu doğru mu? Ve temel değişikliği, Fourier serisinin ile ilişkili katsayılarla iki şekilde nasıl temsil edilebileceğine paralel bir yansıma olduğunu . Ve DFT bağlamındaki kilit nokta, üst frekansların negatif frekanslar olarak düşünülmesi gerektiğidir, böylece RDFT vererek, fourier serisinde gibi sinüslerle ve cosines olsun

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

— user782220

Van Kredisi bölümlerinden biri sorunuzu ayrıntılı olarak ele almaktadır. Bu, Kronecker ürünlerinin manipülasyonu ile ilgili bazı yetenekleri varsayar.

En azından şu anda sahip olduğunuzdan daha az sorunuz olmalıdır.

Karmaşık DFT ya da kompleks Fourier avantajı dönüşümü veya karmaşık Fourier dizisi olmasıdır doğrusal sistemleri, bu yanıt güzel özelliğine sahip olan . (Burada karmaşık bir sabit olabilir). Böylece çıktı, girdinin sadece skaler bir katıdır. Kompleks üstel ağırlıklı toplamı olarak girdinin bir temsilini varsa Daha da önemlisi, çıkış sadece olan bir ağırlıklı toplamı arasında aynı üstel. Farklı ağırlıklar, ancak aynı üstel kümeler . Ayrıca, her yeni ağırlık, eski ağırlığın uygun bir sayı ile çarpılmasıyla elde edilmektedir. $A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$

Tabii ki, hiçbir fiziksel sistem içeri giren ve çıkan karmaşık değerler sinyallerine sahip değildir; en azından, bugün itibariyle değil, gelecekte her zaman daha iyi şeyler için umut olabilir. Bu arada, karmaşık sinyallerin gerçek kısımlarını alıyoruz veya doğrusallığı ve üst üste binme ve liberal kullanımı yoluyla veya cevabını alıyoruz $\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ \sin (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

Buna karşılık, yanıtı biçimindedir . Bu nedenle, doğrusallık ve süperpozisyon vb. Tüm işler çalışırken, çıktının girdiden daha farklı temel işlevlerin kullanılması gerekebilir . Tabii ki çok yakından ilgili, ama yine de muhtemelen farklı ve belki daha fazla temel fonksiyon gerekebilir. Örneğin, girişi bir temel işlevle, çıkış iki temel işlevle temsil edilir. Karmaşık fonksiyonların gerçek fonksiyonlardan iki kat daha fazla çalışma gerektirdiği ve bu nedenle herhangi bir tasarrufun tamamen hayali olduğu iddia edilebilir (pun amaçlı), ancak karmaşık sunumlar $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ günah / cos temsillerinde tekdüze tedavi yoktur. Hızlı! Cevap verilen olan , yanıt ne ? Üzerinde biraz çalışmanız gerekiyor, gibi formülleri çağırmanız gerekebilir. vb. Karmaşık üslerle hayat çok daha kolay. $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$

Ancak, gerçek hayatta olduğu gibi, kilometreniz değişebilir ve eğer günah / cos temsillerinin gidilecek yol olduğunu ve karmaşık üslerin kaçınılması gerektiğini düşünüyorsanız, kalbinizi takip etmekte özgürsünüz. Fikirlerinizi meslektaşlarınıza, patronlarınıza, müşterilerinize veya danışmanlarınıza iletmekte zorluk çekiyorsanız, bu sizin değil, onların kaybı olacaktır.

— Dilip Sarwate
kaynak