Heisenberg belirsizlik İlkesini ne zaman eşitlik olarak yazabiliriz?

Heisenberg belirsizlik İlkesinin olduğunu belirttiğini biliyoruz

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

Fakat (çoğu durumda Morlet dalgacık için) eşitsizliği bir eşitliğe dönüştürdüklerini gördüm. Şimdi sorum şu eşitsizliği ne zaman bir eşitliğe değiştirmemize izin verildi:

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution

— Elektrikçi
kaynak

çok ilginç görünüyor

— dato datuashvili

Gauss dağılımının en uygun şekil olup olmadığını eşit olarak bildiğim için lütfen bu kitaba bakınız Resimli Dalgacık Dönüşümü El Kitabı: Bilim, Mühendislik, Tıp ve Finansta Giriş Teorisi ve Uygulamaları

— dato datuashvili

bağlantı kopmuş dostum, kitabı e-postayla gönderir misiniz yoksa başka bir link gönderir misiniz? e-postam: <electricaltranslation@gmail.com> teşekkürler @datodatuashvili

— Electricman

Yanıtlar:

Belirsizlik ilkesinin herhangi bir özel biçimini tartışmadan önce bir sinyalin zaman ve frekans genişliklerini ve tanımlamak önemlidir . Bu miktarların benzersiz bir tanımı yoktur. Uygun tanımlarla sadece Gauss sinyalinin belirsizlik ilkesini eşitlikle yerine getirdiği gösterilebilir. $\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

Fourier dönüşümü tatmin edici bir sinyali düşünün $f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (unit energy) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 (centered around t = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 (centered around ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

Bu koşulların hiçbiri aslında bir kısıtlama değildir. Hepsi uygun ölçekleme, çeviri ve modülasyon ile (sonlu enerjili sinyaller için) tatmin edilebilir.

Şimdi zaman ve frekans genişliklerini şu şekilde tanımlarsak

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

o zaman belirsizlik ilkesi

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

( için dan daha hızlı kaybolursa ) $f(t)$ $1/\sqrt{t}$ $t\rightarrow\pm\infty$

eşitsizliğin Gauss sinyali için eşitlikten memnun olduğu yerlerde

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

Yukarıdaki denklem numaraları , Vetterli ve Kovaceviç'in Dalgacıklar ve Alt Bant Kodlamasından elde edilen aşağıdaki ispata karşılık gelir (s.80):

resim açıklamasını buraya girin

— Matt L.
kaynak

matematik için teşekkürler, anlamaya çalışacağım. @ matt-l

— Electricman

@Matt L .: Zaman ve frekans genişliklerini neden kare ağırlık faktörüyle tanımlıyorsunuz? Okulda gördüm ki varyansların andt ve ∆w. Dağılımların varyansı doğrusal ağırlık faktörü ile mi? Bu nedir? Öyleyse bu, bu belirsizlik ilkesinin bir fonksiyonun varyasyonları ve spektrumunun varyansı hakkında değil, başka bir şeyden bahsettiği anlamına mı geliyor?

— Martijn Courteaux

@MartijnCourteaux: Bu, bir sinyalin genişliğini tanımlamanın olası bir yoludur. Bir zaman fonksiyonuna uygulandığında, buna genellikle RMS süresi denir ve sadece ikinci anıdır .

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

— Matt L.16

Matematiksel olarak nin ikinci momentini içeren bir Heisenberg belirsizlik ilkesi belirtmek mümkün müdür ? Heisenberg'in kullandığını anlayabiliyorum , çünkü bu bir parçacık dalgası işlevinin olasılığıdır. Ancak, Heisenberg prensibini sinyal işleme bağlamında bilmek istiyorum.

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

— Martijn Courteaux

@MartijnCourteaux: Bu , sinyal işleme bağlamındaki Belirsizlik ilkesidir. nin ikinci momentinin süre olarak bir yorumu yoktur, çünkü pozitif ve negatif olabilir. Garip bir sinyal düşünün . İkinci moment her zaman sıfırdır (integral yakınsa).

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

— Matt L.

Size bunun arkasındaki tüm teoriyi veremem (kelimenin tam anlamıyla kitapları doldurduğu için), ancak Heisenberg'in tam olarak bu sinyal ailesi için tam bir eşitlik haline geldiği ortaya çıkıyor:

s_{t_{0}, ω_{0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0}}{σ})}^{2} + i (ϕ + ω_{0} (t - t_{0}) + γ (t - t_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

burada tüm parametreler gerçek sayılardır. Bu aile, tek bir Gabor atomundan zaman frekansında kuadratik semplectomorfizmlerle üretilir. Bu semplectomorfizmler Heisenberg belirsizlik ilişkisini korur.

Düzenleme: Bu daha kesin ve aslında daha doğru yapmama izin verin. Yukarıda verdiğim sinyaller zaman-frekans alanını asgariye indirir, fakat zaman-frekans belirsizlik ürünü değildir. Eğer asgari istiyorsanız sonra yukarıdaki zorunluluk ortadan olarak gelen. $\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

Bununla birlikte, zaman frekans alanı kavramı, zaman ve frekans ekseni ile hizalanmayan şekillerin alanını ölçmek için genelleştirilebilir. Bu, F ve T arasındaki belirsizlik ürünü yerine, F ve T'nin kapsadığı iki eşlenik değişkenin minimum belirsizlik ürününü ölçüyoruz, size ayrıntıları yedekleyeceğim, ancak zaman-frekans alanının bu tanımı için sinyal ailesi verir. asgari.

— Jazzmaniac
kaynak

Gabuor fijlter fuonctiuons değil mi? ``

— Jean-Yves

Kitapları "doldurmasının" bir nedeni, eşitlik için gerekli olan birçok koşulun tam olarak tanımlanmış ve sınırlandırılmış olmasıdır (çoğu zaman gerçek dünya gibi herhangi bir bağlamdaki herhangi bir yararlılığın ötesinde).

— hotpaw2

Heisenberg belirsizlik ilkesinin orijinal bağlamı fizik, özellikle söz konusu eşlenik değişkenlerin konum ve momentum olduğu kuantum mekaniği idi. Zaman / frekans analizi ile sınırlı değildir.

— user2718

@BZ, burada koroya vaaz veriyorsun. Ben bir matematik kuantum fizikçisiyim. Ancak, yorumunuzun amacını burada veya kendi cevabınızda görmüyorum.

— Jazzmaniac

Belirsizlik ilkesi, çözüm için teorik bir bağ kurar, bu yüzden asla eşitlik olarak yazılmaz.

Karşılaştığınız eşitlik ilişkileri, belirli bir analiz bağlamı ve analiz uygulaması içindir. Bu durumda bağlam, sinyal analizidir, bu nedenle zaman / frekans, ilgilenilen eşlenik değişkenlerdir ve uygulama, kullanımdaki spesifik dalgacıktır.

Eşitlik ilişkisi, farklı analiz uygulamalarındaki kararları karşılaştırmanın bir yolunu sunar. Bu ilişkiler yorumlanırken dikkatli olunmalıdır çünkü çözümün tanımı olmamalıdır, ancak değişebilir.

Eşitlik ilişkisi, iki şeyi tanımladıktan sonra uygundur: 1) çözümün matematiksel anlamı. 2) analiz yöntemi (bu durumda dalgacık seçimi).

— user2718
kaynak

Daha derine inerseniz, Heisenberg'in prensibi çözüm hakkında bir açıklamadan çok daha fazlası olur. Sempatik değişmeli olmayan geometri adı verilen matematiksel bir yapıda zaman frekansı geometrisi ile derinden bağlantılıdır. Zaman frekansı bilgisi için bir bilgi teorik ölçümü sağlar ve tam olarak bütünleştirilir. Hatta keyfi TF bölgelerinin yeniden inşası için Shannon teoremini genelleştirmek için bile kullanabilirsiniz.

— Jazzmaniac

Kuantum mekaniğinde belirsizlik ilkesi, konum x ve momentum p gibi tamamlayıcı değişkenler olarak bilinen bir parçacığın belirli fiziksel özellik çiftlerinin eşzamanlı olarak bilinebildiği hassasiyet için temel bir sınır oluşturan çeşitli matematiksel eşitsizliklerden herhangi biridir. Örneğin, 1927'de Werner Heisenberg, bir parçacığın pozisyonu ne kadar kesin olarak belirlenirse, momentumunun o kadar kesin olarak bilinebileceğini ve tam tersi olduğunu belirtti. [Wikipedia - ama bunu Fizik'te öğrendim ve analiz sınıflarında tekrar ziyaret ettim]

— user2718