Ayrık zaman fourier dönüşümü ile ayrık fourier dönüşümü arasındaki fark

DTFT ve DFT hakkında birçok makale okudum, ancak DTFT sonsuza kadar giderken DFT sadece N-1'e kadar olan birkaç görünür şey dışında ikisi arasındaki farkı ayırt edemiyorum. Herkes farkı ve ne zaman ne zaman açıklayabilir misiniz? Wiki diyor

DFT, giriş ve çıkış sekanslarının her ikisinin de sonlu olması nedeniyle ayrık zamanlı Fourier dönüşümünden (DTFT) farklıdır; bu nedenle sonlu-alanlı (veya periyodik) ayrık zamanlı fonksiyonların Fourier analizi olduğu söylenir.

Tek fark bu mu?

Edit: Bu makale güzel farkı açıklıyor

Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT), ayrık zamanlı bir sinyalin (geleneksel) Fourier dönüşümüdür. Çıkışı frekans ve periyodik olarak süreklidir. Örnek: bir sürekli zaman sinyalinin örneklenmiş versiyonunun spektrumunu bulmak için DTFT kullanılabilir.x ( t $x(kT)$$x(t)$

Ayrık Fourier dönüşümü (DFT), DTFT çıkışının örneklenmiş versiyonu (frekans alanında) olarak görülebilir. Bir bilgisayarla ayrık zamanlı sinyalin frekans spektrumunu hesaplamak için kullanılır, çünkü bilgisayarlar yalnızca sınırlı sayıda değeri işleyebilir. DFT çıktısının sonlu olmasına karşı çıkarım. Aynı zamanda periyodiktir ve bu nedenle sonsuz bir şekilde devam ettirilebilir.

Özetlersek:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) DFT'nin matematiksel bir özelliği, hem girdisinin hem de çıktısının DFT uzunluğu ile periyodik olmasıdır . Yani, DFT'ye giriş vektörü pratikte sonlu olsa da, DFT girişinin periyodik olduğu düşünülürse, DFT'nin örneklenmiş spektrum olduğunu söylemek doğrudur.$N$

tamam, ben buna DFT ile ilgili katı nazi benzeri pozisyonumun "muhaliflerinin" olduğu iddiasıyla cevap vereceğim.

her şeyden önce benim sert, nazi benzeri konumum : DFT ve Ayrık Fourier Serisi birebir aynı. DFT bir sonsuz ve periyodik sekansı, "zaman" alanındaki periyodu ile başka bir sonsuz ve periyodik sekansla, , yine "frekans" alanındaki periyodu ile eşleştirir . ve iDFT onu geri eşler. "inaktif" veya "ters çevrilebilir" veya "bire bir" dir.$x[n]$$N$$X[k]$$N$

DFT:

$$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$$

iDFT:

$$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$$

en temelde DFT budur. doğal olarak periyodik veya dairesel bir şeydir.

ancak periyodiklik inkârcıları bunu DFT hakkında söylemek ister. bu doğrudur, yukarıdakilerin hiçbirini değiştirmez.

bu nedenle, uzunluğunda bir sonlu uzunluk dizisi olduğunu ve periyodik olarak uzatmak yerine (DFT'nin doğası gereği yaptığı gibi), bu sonlu uzunluk dizisini hem solda hem de sağda sonsuz olarak sıfırlarla eklediğinizi varsayalım . yani$x[n]$$N$

$$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

şimdi, bu tekrar etmeyen sonsuz dizinin bir DTFT'si var:

DTFT:

$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ biriminin biriminde Z-dönüşümü sonsuz gerçek değerleri . şimdi, örnek olsaydı DTFT bu de eşit az bir nokta ile, birim çember noktaları aralıklı , alırsın$\hat{x}[n]$$z=e^{j\omega}$$\omega$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$$N$$z=e^{j\omega}=1$

$$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$$

DFT ve DTFT tam olarak bu şekilde ilişkilidir. DTFT'yi "frekans" alanındaki tekdüze aralıklarla örneklemek, "zaman" alanında, orijinal sıra nin tüm katları tarafından tekrarlanmasına ve kaydırılmasına neden olur ve örtüşme eklendi. bir alandaki tek tip örneklemenin diğer alandaki nedeni budur. ancak nin aralığının dışında olduğu varsayıldığından , örtüşme ekleme işlemi hiçbir şey yapmaz. sadece sonlu uzunluktaki dizimiz olan nin sıfır olmayan kısmını periyodik olarak uzatır .$\hat{x}[n]$$N$$\hat{x}[n]$$0$$0 \le n \le N-1$$\hat{x}[n]$$x[n]$

DTFT çıkışı sürekli olduğundan, bilgisayarlarla işlenemez. Bu yüzden bu sürekli sinyali ayrık forma dönüştürmeliyiz. Hesaplamaları azaltmak için FFT'de bir başka gelişme olarak DFT'den başka bir şey değildir.

Doğruysam, DFT girişi periyodik olsa bile, numune sayısı sonlu olmasına rağmen, arkasındaki matematik onu N, sonlandırıldıktan sonra periyodik olarak örnekleri başlatan sonsuz bir dizi olarak ele alır . Yanlışım varsa lütfen düzelt.

DFT: TERSİ OLACAK: x [ n ] =

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$$ $$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$$