Newton Yöntemi'ni kullanarak karekök işlevine de yaklaşabilirsiniz . Newton'un Yöntemi, bir fonksiyonun köklerinin nerede olduğunu tahmin etmenin bir yoludur. Ayrıca, önceki yinelemeden elde edilen sonucun yakınsamaya kadar bir sonraki yinelemede kullanıldığı yinelemeli bir yöntemdir. Newton'un bir başlangıç tahmini tahmini verildiğinde kök fonksiyonunun nerede olduğunu tahmin etme yöntemi için denklem şöyle tanımlanır:f(x)x0
x1=x0−f(x0)f′(x0)
x1 , kökün bulunduğu ilk tahmindir. Cevap değişmeyene kadar denklemi geri dönüştürmeye ve önceki iterasyonlardan elde edilen sonuçları kullanmaya devam ediyoruz. Genel olarak, yinelemedeki tahmin verildiğinde yinelemede kök tahminini belirlemek için :(n+1)n
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
Biz numara verilir varsayalım kare kökü yaklaşmak için Newton yöntemi kullanmak için . Bu nedenle, karekök hesaplamak için, ı hesaplamamız gerekir. Bu nedenle, bir cevap bulmaya çalışırız . Her iki tarafı da, kare, ve hareketli denklem verimi diğer tarafına . Bu nedenle, bu denklemin cevabı ve dolayısıyla fonksiyonun köküdür . Bu nedenle, nın kökünü bulmak istediğimiz denklem olsun. Bunu Newton'un yöntemiyle değiştirerek, ve dolayısıyla:aa−−√x=a−−√ax2−a=0a−−√f(x)=x2−af′(x)=2x
xn+1=xn−x2n−a2xn
xn+1=12(xn+axn)
Bu nedenle, karekökünü hesaplamak için , biz sadece biz yakınsama kadar Newton yöntemi hesaplamamız gerekir. Bununla birlikte, @ robertbristow-johnson tarafından belirtildiği gibi, bölme çok pahalı bir işlemdir - özellikle sınırlı kaynaklara sahip mikrodenetleyiciler / DSP'ler için. Buna ek olarak, bir tahminin 0 olabileceği ve bölünme işlemi nedeniyle 0 hataya bölünmesine neden olacak bir durum olabilir. Bu nedenle, yapabileceğimiz Newton yöntemini kullanmak ve bunun yerine karşılıklı işlev için çözmek , yani . Bu, daha sonra göreceğimiz gibi, herhangi bir bölünmeyi de önler. Her iki tarafın ve sol tarafa taşımak böylece . Bu nedenle, bunun çözümüa1x=a−−√a−−√1x2−a=01a√ . Tarafından çarparak , bizim amaçlanan sonucu elde edersiniz. Yine, Newton'un yöntemini kullanarak, elimizde:a
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
xn+1=xn−1(xn)2−a−2(xn)3
xn+1=12(3xn−(xn)3a)
Ancak, yukarıdaki denkleme bakarken dikkate almamız gereken bir uyarı vardır. Kare kökler için, çözüm pozitif olmalı ve bu nedenle iterasyonların (ve sonucun) pozitif olması için aşağıdaki koşul yerine getirilmelidir:
3xn−(xn)3a>0
3xn>(xn)3a
(xn)2a<3
Bu nedenle:
(x0)2a<3
Bu nedenle, karekökünü hesaplamak istediğiniz numarayı verilen ilk tahminim gerekir yukarıdaki koşulu karşılayan. Bu sonuçta bir mikrodenetleyici üzerine yerleştirilen olacak gibi biz herhangi bir değere sahip başlayabileceğini (1 say), sonra döngü ve değerini azaltarak tutmak yukarıdaki koşul yerine gelene kadar. Doğrudan değerini hesaplamak için bölme yapmaktanx0x0x0bölünme pahalı bir işlem gibi olmalıdır. İlk tahminimizi yaptıktan sonra, Newton'un yöntemini tekrarlayın. İlk tahmine bağlı olarak yakınsamanın daha kısa veya daha uzun sürebileceğini unutmayın. Her şey gerçek cevaba ne kadar yakın olduğunuza bağlıdır. Yineleme sayısını sınırlayabilir veya iki kök arasındaki göreceli fark bir eşik değerden daha az olana kadar ( gibi) bekleyebilirsiniz .10−6
Etiketiniz bir algoritma ararken C, hızlı bir şekilde bir tane yazalım:
#include <stdio.h> // For printf
#include <math.h> // For fabs
void main()
{
float a = 5.0; // Number we want to take the square root of
float x = 1.0; // Initial guess
float xprev; // Root for previous iteration
int count; // Counter for iterations
// Find a better initial guess
// Half at each step until condition is satisfied
while (x*x*a >= 3.0)
x *= 0.5;
printf("Initial guess: %f\n", x);
count = 1;
do {
xprev = x; // Save for previous iteration
printf("Iteration #%d: %f\n", count++, x);
x = 0.5*(3*xprev - (xprev*xprev*xprev)*a); // Find square root of the reciprocal
} while (fabs(x - xprev) > 1e-6);
x *= a; // Actual answer - Multiply by a
printf("Square root is: %f\n", x);
printf("Done!");
}
Bu, Newton'un yönteminin oldukça basit bir uygulamasıdır. Daha önce bahsettiğimiz koşul tatmin edilinceye kadar ilk tahminin yarısını azaltmaya devam ettiğimi unutmayın. Ben de 5'in karekökünü bulmaya çalışıyorum. Bunun 2.236 ya da daha fazlasına eşit olduğunu biliyoruz. Yukarıdaki kodu kullanmak aşağıdaki çıktıyı verir:
Initial guess: 0.500000
Iteration #1: 0.500000
Iteration #2: 0.437500
Iteration #3: 0.446899
Iteration #4: 0.447213
Square root is: 2.236068
Done!
Newton'un yönteminin karşılıklı çözümün çözümü olduğunu ve son cevabımızı almak için sonunda ile çarptığımızı unutmayın . Ayrıca, yukarıda bahsettiğim kriterlerin karşılandığından emin olmak için ilk tahminin değiştirildiğine dikkat edin. Sadece eğlence için 9876'nın karekökünü bulmaya çalışalım.a
Initial guess: 0.015625
Iteration #1: 0.015625
Iteration #2: 0.004601
Iteration #3: 0.006420
Iteration #4: 0.008323
Iteration #5: 0.009638
Iteration #6: 0.010036
Iteration #7: 0.010062
Square root is: 99.378067
Done!
Gördüğünüz gibi, farklı olan tek şey kare kökü hesaplamak için kaç yinelemenin gerekli olduğudur. Hesaplamak istediğiniz şeyin sayısı ne kadar yüksek olursa o kadar çok yineleme yapılır.
Bu yöntemin daha önceki bir yazıda önerildiğini biliyorum, ancak yöntemi türettiğim gibi bazı kodlar sağladığımı düşündüm!