Çok hızlı filtreleme esaslarını anlama

Çok oranlı filtrelemenin bazı temel kavramlarını anlamakta güçlük çekiyorum. Çeşitli kaynaklardan, çok katmanlı bir filtrenin temel yapı taşlarının ikili analiz ve sentez blokları olduğunu görüyorum.

Soru 1 :

Analiz bloğu yapısı, geniş bant sinyalinin alçakgeçiren ve yüksekgeçiren bantlara ayrıldığı, her biri FS / 4 (Nyquist / 2) kesime sahip olan aşağıdaki gibi görünür. Her bant daha sonra 2 katına indirilir.

Yeni hesaplanmış örnekleme hızının Nyquist sınırının üzerinde frekans bilgileri içerdiğinde, yüksek frekans bandındaki sinyali doğru bir şekilde nasıl temsil edebilirsiniz?
Soru 2 :

Analiz bloğu yapısı, alt-bant sinyalinin enterpole edildiği, yeniden filtrelendiği ve daha sonra toplandığı aşağıdaki gibi görünür.

İkinci filtrelemenin amacı nedir?

filter-bank

— learnvst
kaynak

Genelleştirilmiş Nyquist Teoremi "Her bir bant genişliği Hz için en az iki örneğe ihtiyacınız var" dır. Sinyaliniz 999000Hz'den 1001000 Hz'e giderse, ilgili tüm frekanslar çok daha yüksek olsa bile gerekli örnekleme hızı sadece 4 kHz'dir.

— Hilmar

Şimdi burada "bant genişliği Hz başına" eksik olduğum anahtar olduğunu görüyorum.

— learnvst

Önce 2. soruya cevap vereceğim ve umarım bu 1. soru ile neler olup bittiğini açıklamaya yardımcı olacaktır.

Bir temel bant sinyalini örneklediğinizde, aşağıdaki resimde gösterildiği gibi, örnekleme frekansının tüm tam sayı katlarında temel bant sinyalinin örtülü takma adları vardır. Takma adlarla asimetrik taban bandı sinyali Sabit görüntü orijinal temel bant sinyalidir ve takma adlar kesik görüntülerle temsil edilir. Örnekleme frekansının tek katlarında meydana gelen tersinmeyi göstermeye yardımcı olması için bir asimetrik (yani karmaşık) sinyal seçtim.

"Takma adlar gerçekten var mı?" Biraz felsefi bir soru. Evet, matematiksel anlamda varlar, çünkü tüm takma adlar (taban bandı sinyali dahil) birbirinden ayırt edilemez.

Orijinal örnekler arasına sıfırlar ekleyerek örnekleme yaptığınızda, örnekleme oranını örnekleme oranına göre etkili bir şekilde artırırsınız. Dolayısıyla, iki faktör kadar örnek alırsanız (her örnek arasına bir sıfır koyarsanız), örnekleme oranınızı ve Nyquist oranınızı 2 kat artırırsınız, bu da aşağıdaki resimle sonuçlanır. Örneklenmemiş asimetrik taban bandı sinyali

Gördüğünüz gibi, önceki görüntüdeki örtük takma adlardan biri artık açık hale geldi. Örnekleri FFT yaparsanız görünecektir. DFT dönüşümünün temelde değişmediğine dair kesin olmayan bir kanıt aşağıda verilmiştir.

Şimdi iki açık takma ada sahip olduğunuza göre, sadece temel bant takma adını istiyorsanız, diğer takma addan kurtulmak için alçak geçiren filtreye ihtiyacınız vardır. Bununla birlikte, bazen, insanlar diğer takma adlarını kendileri için modüle etmek için kullanırlar. Bu durumda, temel bant sinyalinden kurtulmak için yüksek geçiren filtre kullanırsınız. Umarım bu soru 2. soruya cevap verir.

Soru 1, temel olarak soru 2'nin tersidir. İkinci resimde gösterilen durumda olduğunuzu varsayalım. İstediğiniz temel bant sinyalini almanın iki yolu vardır. İlk yol, düşük geçişli filtreyi (böylece daha yüksek takma addan kurtulmak) ve daha sonra iki faktörle karar vermektir. Bu sizi 1 numaralı resme götürür.

İkinci yol, yüksek geçişli filtreyi (temel bant takma adından kurtulmak) ve daha sonra iki faktörle karar vermektir. Bunun çalışmasının nedeni, kasıtlı olarak sinyali temel banda yumuşatmanızdır, böylece bir kez daha sizi # 1 numaralı resme götürürsünüz.

Neden böyle yapmak istesin? Çünkü çoğu durumda sinyaller aynı olmayacaktır, böylece hangi sinyali istediğinizi seçebilir veya her ikisini ayrı ayrı yapabilirsiniz.

Çok hızlı işlem üzerinde çalışıyorsanız, Frederic Harris tarafından "İletişim Sistemleri için Çoklu Hız Sinyal İşleme" almanızı önemle tavsiye ederim. Matematiği ihmal etmeden teoriyi açıklamak ve çok fazla pratik tavsiye vermek için gerçekten iyi bir iş çıkarıyor.

DÜZENLEME: kasıtlı Nyquist oranından daha az bir sinyalin örnekleme olarak adlandırılır Undersampling . Aşağıda, örnekleme sırasında FFT'nin neden değişmediğini matematiksel olarak açıklamaya çalışıyorum. "x [n]" orijinal örnek kümesidir, "u" örnekleme faktörüdür ve "x '[n]" örneklenmiş örnek kümesidir.

\begin{array}{rcl} X [k] & = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- i 2 π k n / N} \\ X^{'} [k] & = & \sum_{n = 0}^{u N - 1} x^{'} [n] e^{- i 2 π k n / u N}, { & x & ^{'} [n] = 0, n \neq m u, m \in (0.. N - 1) \\ x & ^{'} [n] = x [n / u], n = m u \\ = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x^{'} [u n] e^{- i 2 π k u n / u N} \\ = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- i 2 π k n / N} \\ = & X [k] \end{array}

$\begin{eqnarray*} X[k] &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ X'[k] &=& \sum_{n=0}^{uN-1} x'[n]e^{-i2\pi kn/uN} , \{ &x&'[n] = 0, n \neq mu, m \in (0..N-1)\\ &x&'[n] = x[n/u], n = mu\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x'[un]e^{-i2\pi kun/uN}\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ &=&X[k] \end{eqnarray*}$

Çirkin biçimlendirme için özür dileriz. Ben bir LaTex çaylakıyım.

DÜZENLEME 2: x [n] ve x '[n]' in DFT'lerinin gerçekte aynı olmadığını belirtmeliydim. Cevabın daha önceki bölümünde açıkladığım gibi, örnek oranı daha yüksektir, takma adların "açığa çıkmasına" neden olur. Matematikçi olmayan bir şekilde DFT'lerin örnekleme hızının yanı sıra aynı olduklarına dikkat çekmeye çalışıyordum.

— Jim Clay
kaynak

Bu harika bir cevap. Teşekkür ederim. Gerçekten çok açık.

— learnvst

Düzenlemenizdeki içerik yanlış. Örnekler arasına sıfırlar ekleyerek bir sinyali örneklendirirseniz, elde edilen sinyalin DFT'si orijinal sinyalin DFT'si ile aynı değildir; sıfır doldurulmuş sinyalin spektrumu orijinal, frekans sıkıştırmalı ve yukarı örnekleme faktörü tarafından tekrarlanan spektrumuna eşittir .

U

$U$

— Jason R

@JasonR Düzenlemenin temelde doğru olduğuna inanıyorum, ancak örnekleme oranının değiştiğine işaret etmedim, ki bu da önemli bir değişiklik. Farklı olduğumuz noktaya göre bunu normalleştirilmiş bir perspektiften düşünüyorsunuz, bu da gerçekten olanları "sıkıştırma" ve "tekrarlama" gibi gösteriyor. Cevabımın orijinal kısmında açıklamaya çalıştığım gibi, buna bakmanın bir başka yolu da örnek oranını arttırmamız ve diğer takma adların ortaya çıkmasına neden olmasıdır.

— Jim Clay

@JasonR Eğer denklemlerde bir hata yaptıysam, lütfen bunu bana göster ve düzeltmekten memnuniyet duyarım. Teşekkürler.

— Jim Clay