DFT Neden Dönüştürülen Sinyalin Periyodik Olduğunu Varyar?

10

Birçok sinyal işleme kitabında, DFT'nin dönüştürülen sinyalin periyodik olduğunu varsaydığı iddia edilmektedir (ve bu, örneğin spektral sızıntının oluşmasının nedeni budur).

Şimdi, DFT'nin tanımına bakarsanız, bu tür bir varsayım yoktur. Ancak, ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT) hakkındaki Wikipedia makalesinde ,

Giriş veri dizisi periyodik olduğunda , Denklem 2 hesaplamalı olarak ayrı bir Fourier dönüşümüne (DFT) indirgenebilir $x[n]$ $N$

Peki, bu varsayım DTFT'den mi kaynaklanıyor?
Aslında, DFT hesaplanırken aslında DTFT'yi sinyalin periyodik olduğu varsayımı ile mi hesaplıyorum ?

discrete-signals signal-analysis dft

— user10839
kaynak

X DFT X [k] [n] İlk dönem olarak alınır periyodik sinyal xp, [n] Discrete Fourier Serileri (DFS) ilk dönem için, x [n]

— Fat32

1

Görünüşe göre buna karşı bir cevap yazmam gerekecek. DFT, dönüştürülen sinyalin periyodik olduğunu varsayar, çünkü dönüştürülen sinyale, tümü periyodik olan bir dizi temel fonksiyon sığdırır.

— robert bristow-johnson

1

DFT sadece DFS'nin basitleştirilmiş ifadesidir, dolayısıyla periyodik varsayım doğal olarak mevcuttur.

— lxg

12

Zaten bazı iyi cevaplar var, ama yine de başka bir açıklama eklemek istiyorum, çünkü bu konuyu dijital sinyal işlemenin birçok yönünün anlaşılması için son derece önemli görüyorum.

Her şeyden önce, DFT'nin dönüştürülecek sinyalin periyodikliğini 'varsaymadığını' anlamak önemlidir. DFT basitçe uzunluğundaki sonlu bir sinyale uygulanır ve karşılık gelen DFT katsayıları $N$

\begin{matrix} (1) & X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}, k = 0, 1, \dots, N - 1 \end{matrix}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N},\quad k=0,1,\ldots,N-1\tag{1}$

(1) 'den, aralığında sadece numunelerinin dikkate alındığı açıktır , bu nedenle periyodiklik varsayılmamaktadır. Diğer taraftan, katsayıları, sinyalinin periyodik devamı için Fourier katsayıları olarak yorumlanabilir . Bu ters dönüşümden görülebilir $x[n]$ $[0,N-1]$ $X[k]$ $x[n]$

\begin{matrix} (2) & x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N} \end{matrix}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi nk/N}\tag{2}$

ki değerlerini hesaplar doğru aralığında (2) 'nin sağ taraftaki süresi ile periyodik olduğu için, ama aynı zamanda bu aralık dışındaki periyodik devam hesaplar . Bu özellik DFT tanımının doğasında vardır, ancak bizi rahatsız etmemelidir çünkü normalde sadece aralığıyla ilgileniyoruz . $x[n]$ $[0,N-1]$ $N$ $[0,N-1]$

nin DTFT'si düşünüldüğünde $x[n]$

\begin{matrix} (3) & X (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j n ω} \end{matrix}

$X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jn\omega}\tag{3}$

(3) ile (1) 'i karşılaştırarak görebiliriz, eğer aralığında sonlu bir diziyse , DFT katsayıları DTFT : $x[n]$ $[0,N-1]$ $X[k]$ $X(\omega)$

\begin{matrix} (4) & X [k] = X (2 π k / N) \end{matrix}

$X[k]=X(2\pi k/N)\tag{4}$

DFT'nin bir kullanımı (ama kesinlikle tek değil) DTFT'nin örneklerini hesaplamaktır. Ancak bu yalnızca analiz edilecek sinyal sonlu uzunlukta olduğunda işe yarar . Genellikle bu sonlu uzunluk sinyali daha uzun bir sinyalin pencerelenmesiyle oluşturulur. Ve spektral sızıntıya neden olan bu penceredir.

Son bir açıklama, not olarak, periyodik devamı DTFT sonlu dizisi DFT katsayıları cinsinden ifade edilebilir : $\tilde{x}[n]$ $x[n]$ $x[n]$

\begin{matrix} (5) & \tilde{x} [n] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x [n - k N] \end{matrix}

$\tilde{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[n-kN]\tag{5}$

\begin{matrix} (6) & \tilde{X} (ω) = \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] δ (ω - 2 π k / N) \end{matrix}

$\tilde{X}(\omega)=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{6}$

EDIT: Yukarıda verilen ve bir DTFT dönüşüm çifti olması aşağıdaki gibi gösterilebilir. İlk olarak, ayrı bir zaman dürtü tarakının DTFT'sinin bir Dirac tarağı olduğunu unutmayın: $\tilde{x}[n]$ $\tilde{X}(\omega)$

\begin{matrix} (7) & \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ [n - k N] ⟺ \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - 2 π k / N) \end{matrix}

$\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\Longleftrightarrow\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{7}$

dizisi , bir dürtü tarağı ile nin evrişimi olarak yazılabilir : $\tilde{x}[n]$ $x[n]$

\begin{matrix} (8) & \tilde{x} [n] = x [n] ⋆ \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ [n - k N] \end{matrix}

$\tilde{x}[n]=x[n]\star \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\tag{8}$

Evrişim DTFT alanındaki çarpmaya karşılık geldiğinden , nin DTFT , bir Dirac tarağı ile çarpımı ile verilir : $\tilde{X}(\omega)$ $\tilde{x}[n]$ $X(\omega)$

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \tilde{X} (ω) & = X (ω) \cdot \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - 2 π k / N) \\ = \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (2 π k / N) δ (ω - 2 π k / N) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\tilde{X}(\omega)&=X(\omega)\cdot\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\\&=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/N)\delta(\omega-2\pi k/N)\end{align}\tag{9}$

ile birleştirilmesi sonucu . $(9)$ $(4)$ $(6)$

— Matt L.
kaynak

aşağı aynı cevabı okudum @ hotpaw2 'nin daha yeni cevabı var. bu ifadede: "(1) 'den itibaren aralığında sadece numunelerinin dikkate alındığı açıktır , bu nedenle periyodiklik varsayılmaz." $x[n]$ $[0,N−1]$ sonuç öncülden gelmez.

— robert bristow-johnson

4

@ robertbristow-johnson: Öyle. Bana ardışık örnek verin , ben de size DFT'yi vereyim. aralığının dışındaki sinyal hakkında hiçbir şey varsaymam gerekmiyor , varlığını bile. Bu cümlede iddia ettiğim tek şey bu ve açıkçası doğru. DFT'yi hesaplamak için aralığındaki değerler dışında hiçbir şey bilmeme gerek yok . İfademi nasıl yanlış anlayabileceğinizden veya yanlış okuyabileceğinizden emin değilim. Eğer bu bir formülasyon meselesi ise, o zaman cümleyi açıklığa kavuşturmaktan memnuniyet duyarım, ama içerik açısından aslında önemsizdir.

N

$N$

[0, N - 1]

$[0,N-1]$

[0, N - 1]

$[0,N-1]$

— Matt L.

4

aşağıdaki diğer yanıtı ve diğer konudaki cevabımı okuyun. ne alakası yok sen hakkında farz dışından . dışında hakkında dönüşümün "varsaydığı" (biraz antropomorfize edilmesine izin verilirse) ile ilgilidir . bir etki alanında, diğer etki alanını bir tamsayı miktarını değiştiren bir işlemi çağırdığımızda dönüşümün ne varsaydığını bulabiliriz.

x [n]

$x[n]$

0 \leq n \leq N - 1

$0 \le n \le N-1$

x [n]

$x[n]$

0 \leq n \leq N - 1

$0 \le n \le N-1$

— robert bristow-johnson

@MattL. (9) yerine

= \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] \cdot δ (ω - 2 π k / N)

$=\dfrac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot \delta\left(\omega-2\pi k /N\right)$

= \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (2 π k / N) \cdot δ (ω - 2 π k / N)

$=\dfrac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/ N)\cdot \delta\left(\omega-2\pi k /N\right)$

— jomegaA

@jomegaA: Her iki durumda da hayır. Cevabımın son cümlesinde belirtildiği gibi, nihai sonuç (6) (9) 'u (4) ile birleştirmekten sonuçlanmıştır, bu yüzden elbette , ancak (9 ) DTFT türetilmiştir . Ve ölçeklendirme faktörü , kesinlikle orada olması gerekir. ve ifadelerini karıştırmayın , farklı ölçeklendirme faktörleri vardır.

X [k] = X (2 π k / N)

$X[k]=X(2\pi k/N)$

X (ω)

$X(\omega)$

2 π / N

$2\pi/N$

ω

$\omega$

f

$f$

— Matt L.

8

Zaman alanı sinyalinin tanımından gelir:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{\frac{2 π i n k}{N}}

$x \left[ n \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X \left[ k \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$

Tanıma göre . Öte yandan DFT, sinyalin N örneklerini mükemmel bir şekilde yeniden yapılandırır. Dolayısıyla, periyodik olarak devam ettiği varsayımına varabilirsiniz. $x \left[ n \right] = x \left[ n + N \right]$

Diğer bir bakış açısı (O aslında, göz at a Sonlu Ayrık Fourier Serisi olarak DFT bakıyor olurdu Ayrık Fourier Serisi - DFS ), sinyal periyodik olduğu ders noktalarının (dönemle sinyallerin Sonlu toplamıdır ise ) periyoduna sahip bir sinyal . $T$ $T$

— Royi
kaynak

2

Tanımdan nasıl geldiğini anlamıyorum.

— user10839

1

@ user10839: Sadece değerini değerlendirin ve değerine eşit olduğunu göreceksiniz . Yanıtta belirtildiği gibi, DFT zaman alanı sinyalinin sadece Fourier serisidir. Zaman alanı sinyalinin sonlu uzunluğu temel dönem olarak kabul edilir.

x [n + N]

$x[n+N]$

x [n]

$x[n]$

— Matt L.

@ user10839, Sadece denkleme takın. Üs, görüldüğü gibi süresine sahip Kosinüs ve Sinüs fonksiyonları ile tanımlanabilir .

\frac{n k}{N}

$\frac{nk}{N}$

— Royi

1

DFT, DFS değildir. Bu bilgiçliktir, ancak DFT size Fourier serisi katsayılarını verir. DFT'nin diğer doğrusal dönüşümler gibi olduğunu belirtmek önemlidir. Bir matris çarpımı. Matris ortonormaldir, bu da güzel olmasını sağlar. Verilerin karşılık gelen Fourier serisi genişlemesinin çıkış katsayılarının aynı olduğu gösterilebilir, ancak Fourier dönüşümü Fourier serisi değildir (tip uyuşmazlığı: p).

— thang

@thang, ne demek istediğine dair hiçbir fikrim yok. DFT, DFS'dir. Onlar aynı. Bunu görmek kolay. Dikkat edin, bu Fourier Serisi değil, Ayrık Fourier Serisi'dir (integrallerle). Buraya bir göz atın en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_series ve DFT olduğunu görün.

— Royi

5

Bu gereksiz (ve genellikle yanlış) bir varsayımdır. DFT, sonlu bir vektörün temel bir dönüşümüdür.

DFT'nin temel vektörleri, sonsuz genişleyebilen periyodik fonksiyonların parçacıklarıdır. Ancak, temel vektörleri DFT açıklığının dışında genişletmediğiniz sürece, DFT girişi veya sonuçları hakkında doğal olarak periyodik bir şey yoktur. Birçok sinyal analizi formu, örneklenen pencerenin veya sonlu veri vektörünün dışında herhangi bir uzantı veya varsayım gerektirmez.

Herhangi bir "sızıntı" artefaktının, periyodik olmayan veya periyodikliği veya durağanlığı bilinmeyen bir sinyal ile varsayılan dikdörtgen pencerenin konveksiyonundan olduğu varsayılabilir. Herhangi bir DFT veya FFT penceresinin dışındaki herhangi bir periyodiklik varsayımının diğer pencerelerdeki verilerle tutarsız olabileceği örtüşen FFT pencerelerini analiz ederken bu çok daha mantıklıdır.

Periyodiklik, DFT'yi DTFT'ye bağlayan matematiği daha izlenebilir hale getirebilir. Ancak, sinyal işleme için gerçekte bir FFT kullanıldığında DTFT ile herhangi bir ilişki gerekli olabilir veya olmayabilir (işleme yönteminin daha fazla analizi için tam olarak hangi Fourier dönüşüm özelliklerine ihtiyaç duyulduğuna bağlı olarak).

— hotpaw2
kaynak

aynı nedenle aşağı oklu bu konuda daha yeni cevabınızı aşağı okladım.

— robert bristow-johnson

5

Tamam, cevabım diğer cevaplardan biraz farklı olacak. cevabım, sorunun öncülünü reddetmek yerine sorunun önermesini kabul eder.

DFT'nin giriş sinyalini (dönüştürülecek sinyal, "OP'nin" dönüştürülmüş sinyal "ile ifade ettiği varsayım) periyodik olmasıdır, çünkü DFT, bu giriş sinyaline temel işlevlerin bir koleksiyonuna uymasıdır. periyodiktir.

farklı bir temel işlevler kümesi düşünün:

g_{k} (u) ≜ u^{k} 0 \leq k < N

$g_k(u) \triangleq u^k \quad \quad 0 \le k < N$

ve verilen giriş örnekleri: $N$

x [n] 0 \leq n < N

$x[n] \quad \quad 0 \le n < N$

temel fonksiyonlarının doğrusal toplamını giriş sırasına $g_k(n)$

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] g_{k} (n) \\ = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] n^{k} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] n^k \\ \end{align}$

katsayılarının mantıklı seçimi ile . tüm hesaplanması , bilinmeyenli doğrusal denklemlerin çözülmesini gerektirir . kullanabileceğiniz Gauss eliminasyonu bunu yapmak için. $X[k]$ $X[k]$ $N$ $N$

için için doğru değerleri ile, bu güç fonksiyonlarının (bir th dereceli polinom olan) toplamının tam olarak her biri için , öyle ki . $N$ $X[k]$ $0 \le k \le N-1$ $(N-1)$ $x[n]$ $n$ $0 \le n \le N-1$

şimdi bu toplamı aralığının ötesine geçmek için kullanırsanız ne olur ? herhangi bir için değerlendirebilirsiniz . bu işlevin davranışının th dereceli bir polinomun davranışı olduğunu göreceksiniz, çünkü budur. yeterince büyük için , yalnızca sıfır olmayan bir katsayılı en yüksek güç, ekstrapole edilmiş için bir eğilim belirleyecektir . $0 \le n \le N-1$ $n$ $(N-1)$ $n$ $x[n]$

şimdi DFT ile girdi dizimize farklı bir dizi temel fonksiyon yerleştiriyoruz:

g_{k} (u) ≜ \frac{1}{N} e^{+ j 2 π k u / N} 0 \leq k < N

$g_k(u) \triangleq \frac{1}{N} e^{+j 2 \pi k u/N} \quad \quad 0 \le k < N$

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] g_{k} (n) \\ = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{+ j 2 π n k / N} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{+j2\pi n k/N} \\ \end{align}$

ve katsayıları aşağıdakiler için çözülebilir: $X[k]$

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits^{N-1}_{n=0} x[n] \ e^{-j2\pi n k/N}$

o yerleşimi bir konuyla ilgilidir. literatürün çoğunun faktörünü koyduğu yere koyuyorum . denkleminden çıkarılabilir ve bunun yerine denklemine konulabilir . veya "yarısı" ( ) her iki denklemle birlikte yerleştirilebilir. bu sadece bir kongre meselesi. $\frac{1}{N}$ $\frac{1}{N}$ $x[n]$ $X[k]$ $\sqrt{\frac{1}{N}}$

ancak burada orijinal periyodu ile periyodik olan bir dizi temel fonksiyon ekliyoruz . yani daha uzun bir diziden gelse bile periyodik olmasa da, DFT nin her biri periyodu ile periyodik olan bir grup temel fonksiyonun toplamı olduğunu düşünmektedir . hepsi aynı döneme sahip bir grup periyodik fonksiyon eklerseniz, toplam aynı döneme ait periyodik olmalıdır. $N$ $x[n]$ $x[n]$ $x[n]$ $N$

— robert bristow-johnson
kaynak

Biraz daha polemik için, burada DFT'nin kendisine verilen verileri periyodik olarak uzatmaması gerektiği fikrine itiraz ediyorum, lütfen bu benden önceki cevaba bakın . burada tekrarlamak istemem.

— robert bristow-johnson

1

DFT ayrıktır. DTFT süreklidir. DTFT'den doğru periyodun nabız treni ile örnekleyerek DFT'yi alabiliriz, bu aslında nabız treni ile çarpılmasına eşittir. Dönüştürme alanındaki çoğaltma, ayrık zamanlı etki alanındaki evrişime eşittir, bu sinyalin periyodikliğini ifade eder.

— öğrenci
kaynak

DTFT sürekli mi? Nasıl olur?

— jojek

2

DTFT'nin sonucu süreklidir (frekans olarak).

— Deve

Gerçekten de - bu yüzden herhangi bir yanlış anlaşılmayı önlemek ve yeterli denklemleri sağlamak için açıkça belirtmelisiniz.

— jojek

@jojek Bu doğru, ben de bu cevabın bazı denklemlerle geliştirilebileceğini düşünüyorum

— Deve

1

Çok yakında daha fazla ayrıntı ekleyeceğim.

— öğrenen

0

Her iki alanda periyodik varsayım nedeniyle ayrı dijital dünyada yalnızca DFT pratiktir. (Bunu böyle çağırırsanız.) Çünkü bir alandaki periyodik olmayan sinyal, diğerinde sürekli sinyale neden olur ve dijital sinyalde sadece ayrık sinyal saklayabilirsiniz. Bu nedenle, sinyallerin her iki alanda da ayrık olmasını sağlamak için her iki alanda da periyodik olduğunu varsaymanız gerekir.

DTFT'yi hesapladığınızda çıkış olarak frekans alanında sürekli sinyal alırsınız.
Pratikte DFT'yi hesaplarken aynı prosedürü kullanacağınızı düşünmüyorum. Hem DTFT hem de DFT'yi gerçekten hesapladığınızda, her iki dönüşüm hesaplamasının farklı hikayeler olduğunu anlayacaksınız.

— Meraklı Sam
kaynak

0

Sinyal periyodik olduğundan, zaman kayması sinyali frekans alanının mutlak büyüklüğünü değiştirmez.

X [k] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [n] e^{\frac{2 π i n k}{N}}

$X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$

e^{\frac{- 2 π i D k}{N}} X [k] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [n - D] e^{\frac{2 π i n k}{N}} e^{\frac{- 2 π i D k}{N}}

${e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n - D \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}{e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}$

Bu arada, periyodik olmayan bir sinyalin FFT'sini almanızı engelleyen hiçbir şey yoktur, ancak dönüşümlerin hiçbiri işe yaramazsa çok az pratik kullanım vardır.

— FreedomToWin
kaynak