Geometrik aralıklı kutular içeren DFT?

Geleneksel Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) ve kuzeni FFT, eşit aralıklarla yerleştirilmiş kutular üretir. Başka bir deyişle, ilk bölmedeki ilk 10 hertz, ikincisinde 10.1 ila 20 gibi bir şey elde edersiniz. Ancak, biraz farklı bir şeye ihtiyacım var. Her kutunun kapsadığı frekans aralığının geometrik olarak artmasını istiyorum. 1.5 çarpanını seçtiğimi varsayalım. Sonra birinci bölmede 0 ila 10, ikinci bölmede 11 ila 25, üçüncü bölmede 26 ila 48, vb. İstiyorum. DFT algoritmasını bu şekilde davranacak şekilde değiştirmek mümkün müdür?

Tezimi alıntılamak için:

Bir dönüşüm koleksiyonuna Q sabiti adı verilir ve Fourier dönüşümüne benzer.

Hızlı Fourier dönüşümünün kullanımı ayrık Fourier dönüşümünün hesaplanması çok verimli olabilir. Bununla birlikte, bir sinyalin enerjisinin spektrum boyunca eşit boyutta frekans kovalarına bölündüğünü fark ediyoruz. Birçok durumda bu yararlı olsa da, bu tekdüzen dağılımın en düşük düzeyde olduğu durumlara dikkat ediyoruz. Böyle bir vakanın önemli bir örneği müzikal frekansların analizi ile gözlenir. Batı müziğinde, müzikal ölçekleri oluşturan frekanslar geometrik olarak aralıklıdır. Bu nedenle, ayrık Fourier dönüşümünün frekans kutuları ile müzikal ölçeklerin frekansları arasındaki haritanın, kutuların yetersiz eşleşmesi açısından yetersiz olduğunu görüyoruz. Sabit Q dönüşümü bu sorunu giderir.

Q sabitinin amacı, frekans bölmesinin genişliğinin bir öncekinin ürünü olduğu bir dizi logaritmik aralıklı frekans bölmesi üretmektir. Sonuç olarak, duyulabilir spektrum boyunca nota başına aynı sayıda kutu üretebiliriz, böylece her nota için sabit bir doğruluk seviyesini koruyabiliriz. Frekans kutuları daha yüksek frekanslara doğru genişler ve daha düşük frekanslara doğru daralır. Frekans tespitinin doğruluğundaki bu yayılma, insan-işitsel sistemin frekanslara tepki verme şeklini yakından taklit eder.

Ek olarak, batı ölçeklerindeki notaların yakın eşleşmesi, Q sabitini nota tespitinde özellikle yararlı kılmaktadır; açık bir frekans değeri yerine bir nota değerini belirleme. Ayrıca Q sabiti tını analizi işlemini basitleştirir. Bir enstrüman tarafından çalınan bir notanın frekansları genellikle harmonik olarak ilişkili kısmi kısımlardan oluşur. Enstrümanın tını, harmoniklerin oranları ile karakterize edilebilir. Sabit Q dönüşümü ile harmonikler, temel frekanstan bağımsız olarak kutular arasında eşit aralıklarla yerleştirilir. Bu, sadece karakterizasyonu çöp kutularına kaydırarak ölçeğin herhangi bir yerinde bir nota çalan bir enstrümanı tanımlama sürecini büyük ölçüde basitleştirir.

Ayrık bir Fourier dönüşümünün (FFT ile hesaplanabilen) bir Sabit Q dönüşümüne dönüştürülmesi için etkili bir algoritma Brown ve Puckette (1992) 'de detaylandırılmıştır.

DFT'de (FFT) önemli matematiksel varsayımlar vardır. Bu durumda en önemlisi, kesilmiş sonsuz zamanlı sinüzoid dönüşümü gerçekleştirmenizdir. İkincisi, kesikli zamanın ve kesik frekanslı sinyallerin modulo-sarılmış (dairesel) olduğu varsayılır. Normal bir FFT'de aralıklı olarak kullanılan kutular, yalnızca bu varsayımlar (ve hatta aritmetik duyu aralığı) nedeniyle ortonormal bir set oluşturur. zaman <-> frekans çifti bu nedenle tamamen geri dönüşümlüdür.

Sabit Q dönüşümü çok iyi kesilmez, bu nedenle herhangi bir pratik uygulama mükemmel orto-normal eşleşme sağlamaz. Çekirdek, sonsuz uzun bir üslü olarak bozunan sinüzoittir ve bu nedenle yukarıda belirtilen dairesel avantajlara sahip olamaz. Kesmezseniz, onlar bir ortonormal set oluştururlar.

Dalgacık dönüşümleri tipik olarak 2'nin gücü aralıklıdır, bu da ince taneli frekans tahmini için çok yararlı değildir.

Standart bir sinüsoid DFT'nin eşit olmayan bir şekilde uzaması önerisi, geniş aralıklı bölgedeki bilgileri özleyecek ve yoğun aralıklı bölgedeki bilgileri çoğaltacaktır. Aksi takdirde, her frekans için farklı bir apodizasyon fonksiyonu kullanılır ... çok maliyetli.

Pratik bir çözüm, oktav başına bazı minimax tahmin hatasını karşılamak üzere oktav tabanlı alt bölümler elde etmek için yarı spektrum-> 2'ye kadar yaklaşık tekrarlanan bir prosedür uygulamaktır. Porsiyon spektrumu-> oranına göre oran, herhangi bir zerreciklik ihtiyacını elde etmek için herhangi bir orana ayarlanabilir. Yine de oldukça yoğun hesaplama.