Ayrılabilir tamsayılı 2D filtre katsayılarını ayırmanın hızlı / verimli yolu

Belirli bir tamsayı katsayılarının bir 2B çekirdeğinin tamsayı katsayıları olan iki 1B çekirdeğe ayrılıp ayrılmayacağını hızlı bir şekilde belirlemek isterim. Örneğin

 2   3   2
 4   6   4
 2   3   2

ayrılabilir

 2   3   2

ve

 1
 2
 1

Ayrılabilirlik için gerçek test, tamsayı aritmetiği kullanılarak oldukça basit görünmektedir, ancak tamsayı katsayıları olan 1B filtrelere ayrışmanın daha zor bir problem olduğu kanıtlanmıştır. Zorluk, satırlar veya sütunlar arasındaki oranların tamsayı olmayan (rasyonel fraksiyonlar) olabileceğinden kaynaklanıyor gibi görünmektedir, örneğin yukarıdaki örnekte 2, 1/2, 3/2 ve 2/3 oranlarına sahibiz.

SVD gibi ağır bir görev yaklaşımı kullanmak istemiyorum, çünkü (a) benim ihtiyaçlarım için nispeten hesaplamalı olarak pahalı ve (b) yine de tamsayı katsayılarını belirlemek için mutlaka yardımcı olmuyor .

Herhangi bir fikir ?

DAHA FAZLA BİLGİ

Katsayılar pozitif, negatif veya sıfır olabilir ve 1D vektörlerinden birinin veya her ikisinin toplamının sıfır olduğu patolojik durumlar olabilir;

-1   2  -1
 0   0   0
 1  -2   1

ayrılabilir

 1  -2   1

ve

-1
 0
 1

@PhononCevabını aldım ve biraz değiştirdim, böylece GCD yaklaşımını satır / sütun toplamlarından ziyade sadece üst satırda ve sol sütunda kullanır. Bu patolojik vakaları biraz daha iyi ele alıyor gibi görünüyor. Üst satır veya sol sütunun tümü sıfır ise yine başarısız olabilir, ancak bu durumlarda bu yöntemi uygulamadan önce kontrol edilebilir.

function [X, Y, valid] = separate(M)    % separate 2D kernel M into X and Y vectors 
  X = M(1, :);                          % init X = top row of M
  Y = M(:, 1);                          % init Y = left column of M
  nx = numel(X);                        % nx = no of columns in M
  ny = numel(Y);                        % ny = no of rows in M
  gx = X(1);                            % gx = GCD of top row
  for i = 2:nx
    gx = gcd(gx, X(i));
  end
  gy = Y(1);                            % gy = GCD of left column
  for i = 2:ny
    gy = gcd(gy, Y(i));
  end
  X = X / gx;                           % scale X by GCD of X
  Y = Y / gy;                           % scale Y by GCD of Y
  scale = M(1, 1) / (X(1) * Y(1));      % calculate scale factor
  X = X * scale;                        % apply scale factor to X
  valid = all(all((M == Y * X)));       % result valid if we get back our original M
end

Bunun için özgün fikirler için @Phononve teşekkür ederiz @Jason R.

Anladım! MATLAB kodunu göndermek, bu gece veya yarın için bir açıklama gönderecektir.

% Two original arrays
N = 3;
range = 800;
a = round( range*(rand(N,1)-0.5) )
b = round( range*(rand(1,N)-0.5) )

% Create a matrix;
M = a*b;
N = size(M,1);

% Sanity check
disp([num2str(rank(M)) ' <- this should be 1!']);

% Sum across rows and columns
Sa = M * ones(N,1);
Sb = ones(1,N) * M;

% Get rid of zeros
SSa = Sa( Sa~=0 );
SSb = Sb( Sb~=0 );

if isempty(SSa) | isempty(SSb)
    break;
end

% Sizes of array without zeros
Na = numel(SSa);
Nb = numel(SSb);

% Find Greatest Common Divisor of Sa and Sb.
Ga = SSa(1);
Gb = SSb(1);

for l=2:Na
    Ga = gcd(Ga,SSa(l));
end

for l=2:Nb
    Gb = gcd(Gb,SSb(l));
end

%Divide by the greatest common divisor
Sa = Sa / Ga;
Sb = Sb / Gb;

%Scale one of the vectors
MM = Sa * Sb;
Sa = Sa * (MM(1) / M(1));

disp('Two arrays found:')
Sa
Sb
disp('Sa * Sb = ');
Sa*Sb
disp('Original = ');
M

Belki de problemi önemsizleştiriyorum, fakat senin yapabileceğin gibi görünüyor:

• $N$$M$$\mathbf{A}$$\mathbf{a_i}$$i = 0, 1, \ldots , N-1$

• $j > 0$

  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$$\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$0$$\mathbf{x}$
  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$

• $\mathbf{x}$

• $\mathbf{x_{norm}}$ $$\mathbf{x_{scaled}} = K\mathbf{x_{norm}}, K = 1, 2, \ldots, M$$ $K$$M$

En zarif yöntem değildir ve daha iyi bir yol olması muhtemeldir, ancak çalışması gerekir, uygulanması oldukça basittir ve mütevazı boyuttaki matrisler için nispeten hızlı olmalıdır.

$x \otimes y \otimes z$$A$$|A - x \otimes y \otimes z|$
$x\ y\ z$
$y$$z$$x$$x\ y\ z\ x\ y\ z\ ...$ sırayla.

( Yaklaşık-bir-konvolüsyondan-bir-toplamdan-toplam-ayrıştırılabilir-konvolüsyonların matem.stackexchange üzerindeki.