Neden bir Dirac tarak Fourier dönüşümü bir Dirac tarak?

16

Bunun nedeni, bana mantıklı değil Heisenberg eşitsizlik devletler bu $\Delta t\Delta \omega$ ~ 1.

Bu nedenle, zaman içinde mükemmel bir şekilde yerelleştirilmiş bir şey olduğunda, tamamen dağıtılmış bir şey elde edersiniz. Bu nedenle temel ilişkisi , $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ burada Fourier dönüşüm operatörüdür. $\mathfrak{F}$

Ancak Dirac tarağı için Fourier dönüşümünü uygulayarak başka bir Dirac tarağı alırsınız. Sezgisel olarak, başka bir satır daha almalısınız.

Bu sezgi neden başarısız oluyor?

fourier-transform

— Carlos - Firavun Faresi - Tehlike
kaynak

13

Yanlışlığın bir Dirac tarakının yerelleştirildiğine inanmak olduğuna inanıyorum . Bunun nedeni periyodik bir işlev olması ve bu nedenle frekans bileşenlerinin sadece temel frekansının katlarında, yani ayrık frekans noktalarında olabilmesidir. Sürekli bir spektruma sahip olamaz, aksi takdirde zaman içinde periyodik olmazdı. Diğer periyodik fonksiyonlarda olduğu gibi, bir Dirac tarağı da Fourier serileriyle temsil edilebilir, yani karmaşık üstel değerlerin sonsuz bir toplamı olarak. Her karmaşık üstel, frekans alanında farklı bir frekansta bir Dirac impulsuna karşılık gelir. Bu Dirac impulslarının toplanması, frekans alanında bir Dirac tarağı verir.

— Matt L.
kaynak

Evet, hiçbir periyodik tarak ilgili bağımsız değişkeninde (zaman / frekans) lokalize değildir.

— Peter K.

11

Sezginiz başarısız oluyor çünkü yanlış varsayımlarla başlıyorsunuz. Heisenberg'in belirsizliği söylediklerini söylemez. Sorunuzda söylediğin gibi, bu bir eşitsizlik . Kesin olmak gerekirse,

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

Belirsizlik ürününün tüm sinyaller için alt sınırına yakın olması için bir neden yoktur. Aslında, bu en düşük sınırı sağlayan tek sinyal Gabor atomlarıdır. Diğer tüm sinyaller için daha büyük ve hatta sonsuz olmasını bekleyin.

— Jazzmaniac
kaynak

1

Doğru, ama asıl yanlış, bir Dirac tarakının zaman içinde yerelleştirildiğini düşünmektir. Periyodik olduğu için değil. Dolayısıyla belirsizlik teoremi bir Dirac tarağı hakkında faydalı bir şey söylemez.

— Matt L.

@MattL., Asıl soruyu bu şekilde anlamıyorum. Bence dirac treninin kendi yerel alanında tamamen yerelleştirildiğini ve bu nedenle Fourier'in çok yerel bir şeye dönüşmesi gerektiğini savunuyor.

— Jazzmaniac

1

Tamam, OP'nin 'başka bir hat' ile ne anlama geldiğini yanlış anlıyor gibi görünüyor. Bunun düz bir spektruma atıfta bulunduğunu düşündüm (tıpkı daha önce bahsettiği bir Dirac dürtü spektrumu gibi). Ama bunun bir spektral çizgiye, yani tek bir frekansa atıfta bulunduğunu düşündünüz. En azından şimdi cevabınızın OP'nin sorusuna nasıl cevap verebileceğini anlıyorum.

— Matt L.

1

@MattL., Aslında o "satır" yazarken Dirac dağılımları her zamanki grafik temsili anlamına düşündüm. Her durumda, sorunun en az iki farklı şekilde gerçekten okunabileceği için açıklığa kavuşturması gerekecektir.

— Jazzmaniac

1

"standart" tanım, momentum ve pozisyon belirsizlikleri (özellikle standart sapmalar) ile ilgili fiziksel bir

ve burada

vardır. ve buna rağmen, bu durumda, "

" ve "

" ile ne kastedildiğini tanımlamanız gerekir . bu sabit (

olarak belirttiğiniz

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

) (günlük ölçeğinde) birlikten çok uzakta olamaz, ancak olması gerekmez

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

nedeniyle "için belirli bir tanımı hariç

" ve "

".

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

— robert bristow-johnson

6

elektrik mühendisleri, matematikçilerin ısrar ettiği bir fonksiyon olmadığı (veya en azından "normal" bir fonksiyon değil, "dağıtım") olduğu Dirac delta fonksiyonu ile biraz hızlı ve gevşek oynuyorlar. matematiksel gerçek şu ki eğer $f(t)=g(t)$ "hemen hemen her yerde" (sayılabilir sayıda ayrı değer dışında $t$ her değerinde anlamına),

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ .

işlevleri de $f(t)=0$ ve $g(t)=\delta(t)$ haricinde her yerde eşit $t=0$ , yine de elektrik mühendisleri integralleri farklıdır ısrar. ancak bu küçük (ve bence pratik olmayan) farkı bir kenara bırakırsanız, sorunuzun cevabı:

Dirac tarak işlevi
${I I I}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ , $T$ periyodunun periyodik bir fonksiyonudur ve bu nedenle bir Fourier serisine sahiptir: ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
$c_n$

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

Dirac tarağı için Fourier serisi

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

bu da eşit genlikteki bir grup sinüzoidi topladığınız anlamına gelir.

tek bir kompleks sinüzoidin Fourier Dönüşümü:

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

ve Fourier Dönüşümü ile ilgili bu doğrusallık özelliği vardır. kanıtın geri kalanı okuyucuya bırakılan bir alıştırmadır.

— robert bristow-johnson
kaynak

1

δ (t)

$\delta(t)$

Matematikçilerin bir Dirac dağılımı üzerine entegre olduklarında 1 almadıklarını gösteren yanlış bir argümanla devam ediyorsunuz. Fonksiyonel analiz konusunda bir ders almış olsanız bile, Dirac dağılımını anlamadığınızı daha iyi gösteremezsiniz. Matematiği "düzeltmek" için sizin gibi elektrik mühendislerine ihtiyaç duymaz. Ve böyle matematikçiler hakkında konuşmayı bırakana kadar bunu size göstermeye devam edeceğim. Bu tamamen senin seçimin.

— Jazzmaniac

bu da bir yalan, @Jazzmaniac. Ben o, söylüyorum tutarlı bize matematikçiler, ne ile Dirac delta fonksiyonu bir işlev (biz elektrik mühendisleri bir işlev sanki onunla o ayrım ve anlaşma hakkında endişe yok olsa bile) o çünkü eğer gerçekten değil idi bir hemen hemen her yerde sıfır olan fonksiyon, integral sıfır olacaktır. neden beni yanlış temsil ediyorsun? taşladığınız balta nedir?

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson "elektrik mühendisleri Dirac delta fonksiyonu ile biraz hızlı ve gevşek oynuyor." Paul Dirac bir elektrik mühendisiydi. Claude Shannon aynı zamanda bir elektrik mühendisiydi. Bu tür genel ve yanlış beyanlarda bulunmaktan sizi uyarıyorum. Elektrik mühendisi olduğunuzu iddia ediyor ve dağıtım teorisini açıkça anlıyorsunuz.

— Mark Viola

hemen hemen her lisans elektrik mühendisliği ders kitabı Doğrusal Sistem Teorisi veya Sinyaller ve Sistemler ya da benzer bir isim, Dirac Delta'yı "yeni başlayan deltayı" sınırlayıcı bir vaka olarak tanıtacak ve ele alacaktır . Örneğin :

δ (t) = lim_{bir \to 0} \frac{1}{bir \sqrt{π}} e^{- t^{2} / {bir}^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$ veya sıska yapabileceğiniz başka bir birim alan darbe fonksiyonu. yayınlanan makalelerde, Shannon veya Dirac (bunu bilmiyordum) gibi insanların muhafazakar gerçeklere sadık kalacağı konusunda şaşırmamalıyım:

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$ ve

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$ .

— robert bristow-johnson

1

Bir sezgi vermeye çalışacağım. Muhtemelen şöyle düşünebiliriz: "Bir Dirac deltası bize frekans alanında 1 verir. Şimdi sonsuz sayıda Dirac deltası veriyorum. Daha yüksek bir DC almamalı mıyım?" Şimdi frekans alanında (FD) Dirac tarakta bahsedilen tüm bu frekans bileşenlerini ekleyerek, zaman alanında (TD) başka bir Dirac tarağı alıp alamayacağımızı görelim. Sürekli dalga formları ekliyoruz ve ayrık noktalarda deltalar alıyoruz. Kulağa garip geliyor.

FD'ye geri dönüyorum. Aralıklı bir Dirac tarakımız var $\omega_0$ . Kelimelerle ifade etmek gerekirse, $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ ve bunun gibi. Böylece DC ve sonsuz sayıda kosinüs var, yani $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$ and so on.

Let's consider points in time domain corresponding to $t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$ . All the above cosine waves will give us value 1. Hence they all add up and give us non zero value at those points. Now what about any other t? We need to get convinced that they will all add up to zero.

Now deviating slightly, let's consider a waveform $cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ . We know that unless k can be expressed as a fraction multiplied by $\pi$ , it's aperiodic. What does that mean? There is not a single repeating sample. Each of the samples are unique. Looking it from another perspective, we have infinite number of samples which are unique and part of a cosine wave. This means taking all the infinite points, we will be able to construct a single CONTINUOUS cosine wave completely once. What if $cos(kn)$ is periodic? We already know that the sum of samples will be zero periodically based on value of k. Hence, sum of all the samples of $cos(kn)$ will give us zero for any value of k, except $k = 2\pi$ 's multiple.

Returning back to our original problem : We now take an arbitrary $t=t_0 \neq 2r\pi$ . Now we have $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ ....as the value at $t=t_0$ . But we have already proved this infinite sum =0 for any t except $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$ , where all these cosines add up to give dirac deltas.

— Subramanian T R
kaynak