Faz gecikmesi ile grup gecikmesi arasındaki fark nedir?

41

Bazı DSP'leri inceliyorum ve faz gecikmesi ile grup gecikmesi arasındaki farkı anlamakta güçlük çekiyorum .

Bana öyle geliyor ki her ikisi de sinüzoitlerin filtreden geçen gecikme süresini ölçüyorlar.

Bunu düşünmekte haklı mıyım?
Eğer öyleyse, iki ölçüm nasıl farklılık gösterir?
Biri, bir ölçümün diğerinden daha yararlı olacağı bir duruma bir örnek verebilir mi?

GÜNCELLEME

Julius Smith'in Dijital Filtrelere Giriş bölümünde, iki ölçümün en azından farklı sonuçlar verdiği bir durum buldum: afinfaze filtreler . Sanırım sorum kısmi bir cevap.

— dB'
kaynak

Bu sayfayı faydalı bulabilirsiniz . Grup gecikmesini ve etkilerini herhangi bir matematiği olmadan açıklar.

— user5108_Dan

wikipedia sayfası , tanımları ve farkları matematiksel olarak açıklar. Doğrusal faz filtreniz varsa, grup gecikmesi ve faz gecikmesi aynı değerdir ve sadece filtrenin çıkış gecikmesidir. DC'de bir miktar kazanç olan (yani bir HPF ya da DC'de dB olan bir BPF değil) ve DC'de bir kutup tersine sahip olmayan herhangi bir genel filtre için , grup gecikmesi ve faz gecikmesi DC'de aynı değere yakındır. .

- \infty

$-\infty$

— robert bristow-johnson,

19

Öncelikle tanımların farklı olması:

Faz gecikmesi: (negatif) Fazın frekansa bölünmesi
Grup gecikmesi: (eksi) İlk faz-frekans türevi

Bu şu anlama gelir:

Faz gecikmesi: Frekansta bu noktada faz açısı
Grup gecikmesi: Bu noktanın etrafındaki faz değişim sıklığı oranı.

Birini veya diğerini ne zaman kullanacağınız gerçekten uygulamanıza bağlıdır. Grup gecikmesi için klasik uygulama modüle edilmiş sinüs dalgalarıdır, örneğin AM radyo. Modülasyon sinyalinin sistemden geçmesi için geçen süre, faz gecikmesi değil, grup gecikmesi ile verilir. Başka bir ses örneği bir kick drum olabilir: Bu çoğunlukla modüle edilmiş bir sinüs dalgasıdır, bu nedenle kick drum'lerin ne kadar gecikeceğini (ve potansiyel olarak zaman içinde bulaşan) belirlemek istiyorsanız, grup gecikmesi buna bakmaktır.

— Hilmar
kaynak

“Frekansta bu noktada mutlak faz” Buna sadece “faz” denmez mi?

— 13’deki endolith

"Göreceli" ile karşılaştırıldığında "mutlak" demek istedim, ancak bunun "mutlak değer" ile karışabileceğini görüyorum. Düzenleyeceğim

— Hilmar

Son önemli farklardan biri: Bazı frekanslarda faz gecikmesi , filtreden geçen frekansının yarı-sinüzoidal sinyal fazının zaman gecikmesidir . grup gecikmesi zaman gecikmesi olan zarf ya da " grubuna yarı sinüzoidin".

f

$f$

f

$f$

— robert bristow-johnson

16

Her ikisi de bir sinüzoidin ne kadar geciktiğini ölçmezler. Faz gecikmesi, tam olarak bunu ölçer. Grup gecikmesi biraz daha karmaşık. Bir sinüsoidle çarpılan bir gaussianın içine girip kaybolması için üzerine uygulanan genişlikli bir zarf ile kısa bir sinüs dalgası hayal edin. Bu zarfın bir şekli vardır ve özellikle, bu "paketin" merkezini temsil eden bir zirveye sahiptir. Grup gecikmesi size, bu büyüklükteki zarfın ne kadar gecikeceğini, özellikle de bu paketin zirvesinin ne kadarının taşınacağını söyler.

Bunu, grup gecikmesi tanımına geri dönerek düşünmeyi seviyorum: bu, fazın türevidir. Türev, bu noktada faz cevabının doğrusallaştırılmasını sağlar. Başka bir deyişle, bazı frekanslarda, grup gecikmesi, yaklaşık olarak komşu frekansların faz cevabının o noktada faz cevabı ile ilişkili olduğunu söylemektedir. Şimdi, genlik modülasyonlu bir sinüzoidi nasıl kullandığımızı hatırlayın. Genlik modülasyonu sinüzoidin zirvesini alacak ve komşu frekanslarda yan bantlara neden olacaktır. Yani, bir şekilde, grup gecikmesi, yan bantların bu taşıyıcı frekansa göre nasıl geciktirileceği hakkında bilgi veriyor ve bu gecikmeyi uygulamak, genlik zarfının şeklini bir şekilde değiştirecektir.

Çılgın şey? Nedensel filtreler grup gecikmesini olumsuz etkileyebilir! Gauss'unuzu sinüzoit ile çarpın: bir sinyal devresi oluşturabilirsiniz, böylece bu sinyali gönderirken zarfın tepesi girişten önce çıktıda görünecektir. Bir paradoks gibi gözüküyor, çünkü filtrenin geleceği "görmesi" gerekiyor. Kesinlikle garip, ancak bunu düşünmenin bir yolu, zarfın çok öngörülebilir bir şekle sahip olması nedeniyle, filtrenin ne olacağını önceden tahmin etmek için yeterli bilgiye sahip olmasıdır. Sinyalin ortasına bir çivi sokulursa, filtre bunu tahmin edemezdi. İşte bu konuda gerçekten ilginç bir makale: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

— schnarf
kaynak

"Resim ..." deyince, gerçek bir görüntü burada gerçekten yardımcı olacaktır.

— Gabriel Staples,

9

Buradaki farkı hala tebeşirleştiremeyenler için basit bir örnek

Girişte amplitüdlü bir zarf olan basit sinüs sinyalli uzun iletim hattını alın $v(t)$

v (t) \cdot \sin (ω t)

$v(t) \cdot \sin(\omega t)$

Bu sinyali iletim hattının ucunda ölçerseniz, bunun gibi bir yere gelebilir:

v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω t + ϕ) = v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω (t - τ_{ϕ}))

$v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega t + \phi)\\ = v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega (t - \tau_\phi))$

Burada , girdiden çıktıya faz farkıdır. $\phi$

Sinüsoid aşamasını ne kadar süre alacağını istiyorsanız , girişin sonuna kadar iletimi saniyeler içinde cevabınız. $\sin(\omega t)$ $\tau_\phi = -\tfrac{\phi}{\omega}$

Eğer onu alır ne kadar zaman isterseniz zarfı , daha sonra sona erdirmek için girişten sinüzoidin iletim, Cevabınız içindedir saniye. $v(t)$ $\tau_g = -\tfrac{d\,\phi}{d\,\omega}$

Faz gecikmesi sadece tek bir frekans için seyahat süresi iken, grup gecikmesi çoklu frekans dizisi uygulanırsa genlik bozulmasının ölçüsüdür.

— Swapnil Parihar
kaynak

3

Herhangi bir filtrenin faz gecikmesi, her frekans bileşeninin filtrelerden geçerken yaşadığı gecikme süresidir (bir sinyal birkaç frekanstan oluşuyorsa).

Grup gecikmesi, frekansın her bir bileşeninde yaşanan bileşik sinyalin ortalama zaman gecikmesidir.

— Saeed
kaynak

1

Bunun çok eski bir soru olduğunu biliyorum, ancak internet üzerinden grup gecikmesi ve faz gecikmesi ifadelerinin bir türevini arıyorum. İnternette böyle bir türev yok, bu yüzden bulduklarını paylaşacağımı düşündüm. Ayrıca, bu cevabın sezgisel bir cevaptan çok matematiksel bir açıklama olduğunu unutmayın. Sezgisel açıklamalar için lütfen yukarıdaki cevaplara bakınız. Yani, işte gidiyor:

Diyelim bir sinyal dikkate ve frekans yanıtı olan bir LTI sisteminin içinden geçmek bu ele aldığımız sistemin kazancı birlik çünkü kazancı değil, sistemin girdi sinyalinin fazını nasıl değiştirdiğini analiz etmekle ilgileniyoruz. Şimdi, zaman alanındaki çarpımın, frekans alanındaki dönüşüme tekabül ettiği düşünüldüğünde, giriş sinyalinin Fourier Dönüşümü için hangi miktarda Bu nedenle, sistem çıktısı tarafından verilen bir frekans spektrumuna sahiptir.

a (t) = x (t) c o s (ω_{0} t)

$a(t) = x(t)cos(\omega_0 t)$

H (j ω) = e^{j ϕ (ω)}

$H(j\omega) = e^{j\phi(\omega)}$

A (j ω) = \frac{1}{2 π} X (j ω) * (π δ (ω - ω_{0}) + π δ (ω + ω_{0}))

$A(j\omega) = {1 \over 2\pi}X(j\omega) * (\pi\delta(\omega - \omega_0) + \pi\delta(\omega + \omega_0))$

A (j ω) = \frac{X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0}))}{2}

$A(j\omega) = {X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)) \over 2}$

B (j ω) = \frac{e^{j ϕ (ω)}}{2} (X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0})))

$B(j\omega) = {e^{j\phi(\omega)} \over 2} (X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)))$ Şimdi Yukarıdaki ifadenin ters Fourier dönüşümü bulmak, için tam analitik formu bilmemiz gerekir . Bu nedenle, sorunları basitleştirmek için, nin frekans içeriğinin sadece taşıyıcı frekanstan önemli ölçüde düşük olan frekansları . Bu senaryoda, sinyali bir genlik modülasyonlu sinyal olarak görülebilir, burada yüksek frekanslı kosinüs sinyalinin zarfını temsil eder. Frekans alanında, şimdi ortalanmış iki dar frekans bandı içerir ve

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t)

$x(t)$

ω_{0}

$\omega_0$

a (t)

$a(t)$

x (t)

$x(t)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$ (yukarıdaki denkleme bakınız). Bu, için bir birinci dereceden Taylor serisi genişletme kullanabileceğimiz anlamına gelir . burada Bunu hesaplayabiliriz Fourier ilk yarısının dönüşümü olarak İkameci için bu olur

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

ϕ (ω) = ϕ (ω_{0}) + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0}) (ω - ω_{0}) = α + β ω

$\phi(\omega) = \phi(\omega_0) + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)(\omega - \omega_0) = \alpha + \beta\omega$

α = ϕ (ω_{0}) - ω_{0} \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\alpha = \phi(\omega_0) - \omega_0\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

β = \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\beta = \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω - ω_{0})) e^{j (ω t + α + β ω)} d ω

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega - \omega_0)) e^{j(\omega t + \alpha + \beta\omega)} d\omega$

ω - ω_{0}

$\omega - \omega_0$

ω^{'}

$\omega'$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω^{'})) e^{j ((ω^{'} + ω_{0}) (t + β) + α)} d ω^{'}

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega')) e^{j((\omega' + \omega_0) (t + \beta) + \alpha)} d\omega'$ ki bu, u basitleştirir ve ifadelerini , bu Benzer şekilde diğer yarısı Fourier Dönüşümü , ile değiştirilerek elde . Gerçek sinyaller için, garip bir işlevdir; bu

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ω_{0} β + α)}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \omega_0\beta + \alpha)}}{2}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t + β) \frac{e^{- j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{-j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$ Böylece ikisini birlikte ekleyerek zarfındaki ve taşıyıcı kosinüs sinyalindeki gecikmelere dikkat edin . Grup gecikmesi gecikmeye karşılık gelirken faz gecikmesi taşıyıcıdaki gecikmeye karşılık gelir. Böylece,

b (t) = x (t + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})) c o s (ω_{0} (t + \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}))

$b(t) = x(t + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0))cos(\omega_0(t + \frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}))$

x (t)

$x(t)$

(τ_{g})

$(\tau_g)$

(τ_{p})

$(\tau_p)$

τ_{g} = - \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\tau_g = -\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

τ_{p} = - \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}

$\tau_p = -\frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}$

— Arkonaire
kaynak