SVD / PCA hesaplamasından yeni görüntüler ekleme

Ben wikipedia Eigenface sayfasından fikirleri çoğaltmak çalışıyorum . Bir veri matrisi temsil edilen yüz örnek görüntüden (her görüntü uzunluğunda bir vektöre düzleştirildi , bu nedenle , x matristir), bir SVD ayrışımı hesapladım: $\bf X$ $n$ $\bf X$ $100$ $n$

X = U Σ V^{T}

$\begin{equation} \bf X = U \Sigma V^{T} \end{equation}$

dolayısıyla:

X X^{T} = U Σ^{2} U^{T}

$\begin{equation} \bf X X^{T} = U \Sigma^2 U^{T} \end{equation}$

En büyük özdeğerlerinin bir alt kümesini alarak , matrise yaklaşabilirim ( ): $q$ $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \cdots$

X \approx σ_{1} u_{1} v_{1}^{T} + σ_{2} u_{2} v_{2}^{T} + \dots + σ_{q} u_{q} v_{q}^{T}

$\begin{equation} {\bf X} \approx \sigma_1 u_1 v_1^{T} + \sigma_2 u_2 v_2^{T} + \cdots + \sigma_q u_q v_q^{T} \end{equation}$

Şimdi yeni bir vektör verilen bir görüntü değil temsil eder , nasıl ağırlığının belirlenmesi do özvektörler iyi benim yeni imaj temsil etmek ? Patolojik durumlar dışında, bu temsil benzersiz midir? $y$ $\bf X$ $q$ $\bf U$ $y$

Kısacası, yapmak istediğim şey (wiki sayfasından):

Bu özyüzleri şimdi hem mevcut hem de temsil etmek için kullanılabilir yeni yüzler : Biz yapabilirsiniz proje özyüzlerin üzerinde yeni (ortalama-çıkarılan) görüntü ve böylece ne kaydı ortalama yüzünden o yeni yüzü farklıdır.

Bu izdüşümü nasıl yaparım?

computer-vision linear-systems linear-algebra

— Bağlanmış
kaynak

Gelecekteki okuyucular bu uygulamayı değerli bulabilirler .

— Emre

Adı geçen "projeksiyon" bir vektör projeksiyonudur . Vektör izdüşümünü hesaplamak için vektör üzerine , kullanmak iç ürün iki vektörün: $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$

a_{p r o j} = ⟨ a, b ⟩ b

$\mathbf{a_{proj}} = \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle \mathbf{b}$

, bu durumda bir vektör bileşeni ile aynı yönde yatmaktadır . Öklid uzayında, iç ürün operatörünokta ürünüolarak tanımlanır: $\mathbf{a_{proj}}$ $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$

⟨ a, b ⟩ = a \cdot b = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}

$\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n}a_ib_i$

burada vektörlerde bileşenlerin sayısı olan ve ve ve edilir vektörlerinin inci bileşeni ve sırasıyla. Sezgisel olarak, iki vektörün iç çarpımını hesaplayarak vektörünün ne kadarının vektörü yönünde olduğunu görürsünüz . Bunun işaretli bir miktar olduğuna dikkat edin, bu nedenle negatif bir değer, projeksiyon operatörü için alternatif bir tanımla gösterildiği gibi, iki vektör arasındaki açının 90 dereceden fazla olduğu anlamına gelir: $n$ $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$ $a_i$ $b_i$ $i$ $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$ $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$

a_{p r o j} = | a | \cos (θ) b

$\mathbf{a_{proj}} = |\mathbf{a}| \cos(\theta) \mathbf{b}$

burada iki vektör arasındaki açıdır. $\theta$

Yani, bir vektör verilen ve taban vektörler bir demet , tek "ne kadar bulabilirsiniz " taban vektörlerinin her birinin yönlerinin her birinde gider. Tipik olarak, bu temel vektörlerin hepsi karşılıklı olarak dik olacaktır. Sizin durumunuzda, SVD dik bir ayrışmadır, bu nedenle bu durum yerine getirilmelidir. Yani, tarif ettiğiniz şeyi başarmak için, özvektörler matrisini alır ve matrisin sütunlarının her biriyle aday vektörünün iç çarpımını hesaplarsınız : $\mathbf{a}$ $\mathbf{b_i}$ $\mathbf{a}$ $\mathbf{U}$ $\mathbf{y}$

p_{i} = y \cdot u_{i}

$p_i = \mathbf{y} \cdot \mathbf{u_i}$

Sayıl değer , her bir iç üründen olsun vektör ne kadar iyi temsil ile "dizilmiş" 'inci özvektörler. Özvektörler ortonormal olduğundan , orijinal vektör aşağıdaki gibi yeniden yapılandırabilirsiniz : $p_i$ $\mathbf{y}$ $i$ $\mathbf{y}$

y = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} u_{i}

$\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n p_i \mathbf{u_i}$

$\mathbf{y}$ $\mathbf{U}$ $\mathbf{y}$

— Jason R
kaynak

y

$\bf y$

y

$\mathbf{y}$

y

$\mathbf{y}$ bir dizi dikey olmayan vektör üzerine, eğer vektörler tarafından yayılan alanın daha az altta yatan boyutsallığı (daha küçük bir temel) varsa, muhtemelen daha kompakt bir gösterim elde edebilirsiniz.

— Jason R