Gaussian Laplacian'daki sigma ile Gaussianların Farkındaki iki sigma arasındaki ilişki nedir?

Galakyalı bir Galakyalı filtrenin Gauss Farkı filtresiyle yaklaşıklaştırılabileceğini ve en iyi yaklaşım için iki sigmanın oranının 1: 1.6 olması gerektiğini anlıyorum. Ancak, Gaussian Farkı'ndaki iki sigmanın Gaussian Laplacian için sigma ile nasıl ilişkili olduğundan emin değilim. İlkindeki küçük sigma ikincisinin sigma'sına eşit mi? Daha büyük sigma mı? Yoksa ilişki başka bir şey mi?

Galakyalı bir Galakyalı filtrenin Gauss Farkı filtresiyle yaklaşıklaştırılabileceğini ve en iyi yaklaşım için iki sigmanın oranının 1: 1.6 olması gerektiğini anlıyorum.

Teorik olarak, iki sigma arasındaki oran ne kadar küçükse, yaklaşım o kadar iyi olur. Pratikte, bir noktada sayısal hatalar alırsınız, ancak kayan nokta sayılarını kullandığınız sürece, 1,6'dan küçük değerler size daha iyi bir yaklaşım sağlayacaktır.

Göstermek için, Mathematica'da birkaç k değeri için LoG ve DoG'un bir kesitini çizdim:

Gördüğünüz gibi, k = 1.6 ideal bir yaklaşım değildir. Örneğin, k = 1.1 çok daha yakın bir yaklaşım verecektir.

Ancak genellikle bir dizi sigma için LoG yaklaşımlarını hesaplamak istersiniz. (Aksi halde, neden DoG yaklaşımı ile uğraşasınız? Tek bir LoG filtrelenmiş görüntünün hesaplanması, tek bir DoG filtrelenmiş görüntünün hesaplanmasından daha pahalı değildir.) Bu nedenle, genellikle bir dizi gauss filtreli hesaplayabilmeniz için k değeri seçilir. sigmas s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ... ile görüntüler ve sonra bitişik gaussians arasındaki farkları hesaplayın. Daha küçük bir k seçerseniz, aynı sigma aralığı için daha fazla gaussian "katmanı" hesaplamanız gerekir. k = 1.6, yakın bir yaklaşım istemek ile çok sayıda farklı gaussian hesaplamak istememek arasındaki bir değiş tokuştur.

Ancak, Gaussian Farkı'ndaki iki sigmanın Gaussian Laplacian için sigma ile nasıl ilişkili olduğundan emin değilim. İlkindeki küçük sigma ikincisinin sigma'sına eşit mi?

$t=\sigma ^2$$\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$$\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$$\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

Belki buradaki formüller size yardımcı olabilir.

Ölçek alanı temsili difüzyon denklemini karşıladığından, LoG iki ölçek ölçek alanı arasındaki fark olarak hesaplanabilir.

Bu nedenle, DoG formülünü türetirken, önce sonlu farklarla LoG'ye yaklaşıyoruz. Bence sigma için özgül oran, ilk etapta ölçek olarak bir birim adımın yaklaşık LoG'ye alınması gerçeğinden kaynaklanmaktadır.