Ayrık Fourier dönüşüm simetrisi

Lyons kitabında Dijital Sinyal İşlemeyi Anlamak adlı ayrı Fourier dönüşümleri bölümünü okuyordum ve simetri ile ilgili son paragrafı anlayamadım.

DFT'nin bu noktada bahsetmeyi hak eden ek bir simetri özelliği var. Uygulamada, zaman zaman, girdi endeksinin bulunduğu gerçek girdi fonksiyonlarının DFT'sini belirlememiz istenir$n$hem pozitif hem de negatif değerler üzerinden tanımlanır. Bu gerçek giriş işlevi eşitse, o zaman$X(m)$her zaman gerçek ve eşittir; yani, eğer gerçek$x(n) = x(−n)$, sonra, $X_{\textrm{real}}(m)$ genel olarak sıfır olmayan ve $X_{\textrm{imag}}(m)$sıfırdır. Tersine, gerçek giriş işlevi garip ise,$x(n) = −x(−n)$, sonra $X_{\textrm{real}}(m)$ her zaman sıfırdır ve $X_{\textrm{imag}}(m)$ genel olarak sıfır değildir.

Not: $X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

• İlk olarak, "tek" ve "çift" ile kastedilen nedir? Giriş sinyalindeki örnek sayısı olduğundan şüpheliyim, ancak bu beni ikinci soruma götürüyor,
• Neden ki $X_{\textrm{imag}}(m)$ Eşit olan gerçek giriş işlevleriyle sıfır ve neden tek olan gerçek giriş işlevleriyle $X_{\textrm{real}}(m)$ sıfır ve $X_{\textrm{imag}}(m)$ genellikle sıfır değil mi?

Çift ve tek, etraftaki simetriye atıfta bulunur $n = 0$.

Bile demek $x[n] = x[-n]$; rolünü alabilirsin$n < 0$ sadece parçayı $n > 0$ -de $n=0$ hat.

Tek anlamına gelir $x[n] = -x[-n]$; rolünü alabilirsin$n < 0$ sadece parçayı $n > 0$ -de $n=0$ çizgi ve ile çarpma $-1$.

Bir kosinüs dalgası eşittir, sinüs dalgası tuhaftır.

Bunların hepsi genel simetrinin sadece özel durumlarıdır.

bir alanda gerçekse, diğer alanda eşlenik simetriktir.

Eşlenik simetrik, gerçek parçanın eşit ve hayali parçanın garip olduğu anlamına gelir. Çoğu insan bir eş zamanlı simetrik spektrum olarak gerçek zamanlı bir etki alanı sinyalinin olduğunu bilir, fakat aynı zamanda tersini yapar: bir eşlenik simetrik zaman etki alanı sinyalinin gerçek değerli bir spektrumu vardır.

Hilmar'ın cevabı elbette mükemmel doğrudur, ancak bence Lyons'ın OP tarafından alıntılanan ifadede ele almadığı birkaç nokta var (ya da belki daha önce onlarla konuştu ve OP tarafından alıntılanan paragrafta kendini tekrarlamamayı seçti) .

Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) genellikle bir dizinin dönüşümü olarak tanımlanır $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ sonlu uzunlukta $N$ başka bir diziye $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ uzunluk $N$ nerede

$$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$$ Ancak bu formüller aşağıdaki durumlarda da kullanılabilir: $m, n$ aralığın dışında $[0, N-1]$ ve eğer bunu yaparsak, uzunluğun$N$ DFT periyodik bir sekanstan dönüşüm olarak görülebilir$x[\cdot]$ başka bir periyodik diziye$X[\cdot]$, her iki yönde de sonsuzluğa uzanan ve $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ ve $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$sadece bir dönembu sonsuz uzun dizilerin . Bu konuda ısrar ettiğimizi unutmayın$x[n+iN] = x[n]$ ve $X[m+iN] = X[m]$ hepsi için $m, n,$ ve $i$.

Elbette bu, pratikte verilerin nasıl ele alındığı değildir. Çok uzun bir örnek dizimiz olabilir ve bunları uygun uzunluktaki bloklara ayırırız$N$. DFT'yi hesaplıyoruz$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ gibi

$$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ the DFT of the next chunk $(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$ as $$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ the DFT of the previous chunk $(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$ as $$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ etc. and then we play with these various DFTs of the various chunks into which we have subdivided our data. Of course, if the data are in fact periodic with period $N$, all these DFTs will be the same.

Now, when Lyons talks of ...where the input index n is defined over both positive and negative values... he is talking of the periodic case, and when he says that a (real) even function has the property $x[n] = x[-n]$, this property must hold for all integers $n$. Since periodicity also applies, we have not only that $x[-1] = x[1]$ but $x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$, and similarly, $x[-n] = x[n] = x[N-n]$. In other words, the real even sequence $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ whose DFT is a real even sequence (as stated by Lyons and explained very nicely by Hilmar) is necessarily of the form

$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$$ which is (apart from the leading $x[0]$) a palindromic sequence. If you are partitioning your data into blocks of length $N$ and computing the DFT of each block separately, then these separate DFTs will not have the symmetry properties described above unless the DFT is of a block with this palindromic property.

Just for even and odd function clarification,

Even : symmetric with respect to y axis Odd: symmetric with respect to origin

And without going into mathematical details, DFT of real valued function is symmetric, i.e. resultant Fourier function has both real and imaginary parts which are mirror images with respect to 0 frequency component. This doesn't happen in case where you take DFT of a complex function.