Verilen bir sinyalin frekans içeriğini görmenizi sağlayan matematiksel bir işlem olan Fourier Dönüşümünü anlıyorum. Ama şimdi, konuşmamda. Tabii ki, profesör Hilbert dönüşümü tanıttı.

Hilbert Dönüşümü'nün bir FFT by $-j\operatorname{sign}(W(f))$ çarpması veya zaman fonksiyonunu $1/\pi t$ ile katlaması gerçeği göz önüne alındığında, frekans içeriği ile biraz bağlantılı olduğunu anlıyorum .

Hilbert dönüşümünün anlamı nedir? Bu dönüşümü verilen bir sinyale uygulayarak hangi bilgileri elde ederiz?

Hilbert Dönüşümünün bir uygulaması Analitik Sinyal denilen bir yöntem elde etmektir. Sinyal için $s(t)$ , onun Hilbert Transform s ( t ) , bir bileşim olarak tanımlanır:$\hat{s}(t)$

Elde ettiğimiz Analitik Sinyal karmaşık bir değerdir, bu nedenle üstel gösterimde ifade edebiliriz:

nerede:

$A(t)$ anlık genliktir (zarf)

$\psi(t)$ anlık fazdır.

Peki bunlar nasıl yardımcı olur?

Anlık genlik birçok durumda yararlı olabilir (basit harmonik sinyallerin zarfını bulmak için yaygın olarak kullanılır). İşte bir dürtü yanıtı için bir örnek:

İkincisi, faza bağlı olarak anlık frekansı hesaplayabiliriz:

Bir süpürme tonunun frekans tespiti, dönen motorlar vs. gibi birçok uygulamada yine faydalıdır.

Diğer kullanım örnekleri şunlardır:

• Telekomünikasyonda dar bant sinyallerin örneklenmesi (çoğunlukla Hilbert filtreleri kullanılarak).

• Tıbbi Görüntüleme.

• Varış Yönü için dizi işleme.

• Sistem cevap analizi.

$\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$ tüm ilk bilgileri tutar, artı “genliği” doğrudan 1 olan bir modüldür. Bant kısıtlılığı ve yerellik kavramı ortaya çıktıkça yukarıdakilerin tümü özen gerektirir.

Hilbert dönüşümü (ve daha yüksek boyutlarda Riesz dönüşümü) daha temel bir araç olabilir. Kompleks Fonksiyon Teorisi ve Heisenberg Grubuna Uygulamalarla Harmonik Analizde Yapılan Araştırmalar Bölüm 2’nin Steven G. Krantz’ın prologunu sevdim :

Prolog: Hilbert dönüşümü şüphesiz analizdeki en önemli operatördür. Pek çok farklı bağlamda ortaya çıkar ve tüm bu bağlamlar derin ve etkili yollarla iç içedir. Her şeyden önce, boyut 1'de sadece bir tekil integral olduğu ve Hilbert dönüşümü olduğu ortaya çıktı. Felsefe, bütün önemli analitik soruların tekil bir integrale indirgenmesidir; ve ilk boyutta sadece bir seçenek var.

Sinyal / görüntü işlemede uygulamalar, muhtemelen temel özellikleri nedeniyle çoktur: anlık genlik / frekans kestirimi, sadece genlik için nedensel filtrelerin oluşturulması (Kramers-Krönig ilişkileri), küçük artıklık 2D yönlü dalgacıklar, vardiya değişmez kenar tespiti, vb.

Ayrıca iki cildin F. King, 2009, Hilbert dönüşümlerini önerdiğini de söyleyebilirim .

Bir dönüşüm (FT veya Hilbert vb.) Hiçbir şeyden yeni bilgi yaratmaz. Bu nedenle, "aldığınız bilgiler" veya 1D / gerçek sinyalin Hilbert dönüşümü ile sağlanan sonuçta ortaya çıkan analitik karmaşık sinyalin eklenen boyutu, bu sinyale bağlı olarak, bu sinyaldeki her bir noktanın yerel ortamının bir özetleme şeklidir. puan.

Yerel faz ve zarf genliği gibi bilgiler, her bir yerel noktayı çevreleyen bir sinyalin genişliği veya büyüklüğü (sonsuz bir dereceye kadar) hakkında gerçekten bilgidir. Hilbert dönüşümü, bir 1D gerçek sinyalden karmaşık bir analitik sinyalin bir bileşeninin üretilmesinde, sinyalin etrafındaki bir ölçekten bir sinyalin her bir noktası üzerine bir miktar bilgi sıkıştırır, böylece bir kişinin daha fazla karar vermesine izin verir (böyle bir demodülasyon biraz her bir yerel (şimdi karmaşık) nokta veya numunede bir zarf genliği, vb. grafik çizerek, her biri üzerinde bir sinyal genişliğinde yeni (dalgacık, pencereli Goertzel, vb.) bir pencereyi yeniden taramak ve / veya işlemek zorunda kalmadan puan.

Hilbert dönüşümü tarafından üretilen analitik sinyal birçok sinyal analizi uygulamasında yararlıdır. Önce sinyali filtreleyen bantlandırırsanız, analitik sinyal gösterimi, sinyalin yerel yapısı hakkında size bilgi verir:

• $\pi$$\pm \pi/2$
• genlik, simetriden (faz) bağımsız olarak, yapının gücünü gösterir.

Bu temsil için kullanılmıştır

• yerel enerji ile özellik tespiti (genlik)
• faz kullanarak özellik sınıflandırması
• faz uyumu ile özellik tespiti

Ayrıca Riesz dönüşümü, örneğin monogenik sinyal kullanılarak daha yüksek boyutlara uzanıyor.

Bir Hilbert dönüşümü uygulamak, orijinal gerçek değerli sinyale dayanan bir analitik sinyal oluşturmamızı sağlar. Ve iletişim dünyasında, orijinal gerçek değerli sinyalin anlık büyüklüğünü kolayca ve doğru bir şekilde hesaplamak için analitik sinyali kullanabiliriz. Bu işlem AM demodülasyonunda kullanılır. Ayrıca, analitik sinyalden, orijinal gerçek değerli sinyalin anlık fazını kolayca ve doğru bir şekilde hesaplayabiliriz. Bu işlem hem faz hem de FM demodülasyonunda kullanılır. Profesörünüz Hilbert dönüşümü konusunda haklı çünkü iletişim sistemlerinde çok faydalı.

Harika cevaplar zaten, ancak bir sinyalin analitik versiyonuna dönüştürülmesinin dijital alanda kolay olduğunu eklemek istedim (gerekli yarım bant filtresi, katsayılarının yarısını sıfıra eşit), ancak bir kez, örnekleme oranı kesilebilir. yarısı, esasen işlemeyi gerçek ve hayali yollara bölme Açıkçası, burada bir maliyet var ve bazı çapraz terimlerin ele alınması gerekiyor, ancak saat hızının bir faktör olduğu donanım uygulamalarında genellikle yararlıdır.

Diğer cevaplarda da açıklandığı gibi, Hilbert dönüşümünün, sinyalin zarfını ve fazını bulmak için kullanılabilecek anaytik bir sinyal almak için kullanılması.

Hilbert dönüşümüne bakmanın bir başka yolu frekans alanındadır. Gerçek sinyal aynı pozitif ve negatif frekans bileşenlerine sahip olduğundan, analizde bu bilgi gereksizdir.

Hilbert Transform, negatif frekans kısmını ortadan kaldırmak ve pozitif frekans parçasının büyüklüğünü iki katına çıkarmak (gücü aynı tutmak) için kullanılır.

Burada, tasarlanan Hilbert Transform filtresi, 50MHz'den 450 MHz'e frekansları geçen doğadaki bant geçişidir. Giriş, 200MHz ve 500MHz'e eşit frekanslara sahip iki sinüzoidal sinyalin toplamıdır.

PSD grafiğinden, 200MHz sinyalinin bu şekilde geçerken 200MHz sinyalinin negatif frekans bileşeninin zayıfladığını görebiliriz.

Bu sorunun zaten pek çok mükemmel cevabı var, ancak Hilbert dönüşümünün konseptini ve faydasını büyük ölçüde ortadan kaldıran bu çok basit örneği ve bu sayfadaki açıklamayı eklemek istedim :

$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ $Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ ${\cal H}_t\{x\}$$t$$x$$1$$-\pi/2$$+\pi/2$$x(t)$$y(t) = {\cal H}_t\{x\}$$z(t) = x(t) + j y(t)$$z(t)$$x(t)$$x(t)$$z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$$x(t)$ '' filtrelenmiş. ''

(Yasal Uyarı: Ben değil sayfasının yazarı)