Laplace dönüşümü gereksiz mi?

Laplace dönüşümü, Fourier dönüşümünün genelleştirilmesidir çünkü Fourier dönüşümü için Laplace dönüşümüdür (yani , saf bir hayali sayı = sıfır gerçek kısmıdır ). $s = j\omega$ $s$ $s$

Hatırlatma:

Fourier dönüşümü: $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

Laplace dönüşümü: $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

Ayrıca, bir sinyal, Fourier dönüşümünün yanı sıra Laplace dönüşümünden de tam olarak yeniden oluşturulabilir.

Yeniden yapılandırma için Laplace dönüşümünün sadece bir kısmı gerektiğinden ( olan kısım), Laplace dönüşümünün ( ) geri kalanı yeniden yapılanma için yararlı görünmüyor ... $\Re(s) = 0$ $\Re(s) \neq 0$

Bu doğru mu?

Ayrıca, Laplace dönüşümünün başka bir kısmı için sinyal yeniden oluşturulabilir (örneğin veya )? $\Re(s)=5$ $\Im(s)=9$

Ve bir sinyalin Laplace dönüşümünü hesaplayıp Laplace dönüşümünün sadece bir noktasını değiştirip ters dönüşümü hesaplarsak ne olur: orijinal sinyale geri dönüyor muyuz?

fourier-transform laplace-transform

— Vinz
kaynak

Neden inişli çıkışlı? Soru, bir yorumda veya yanıtta çok iyi başa çıkabileceğiniz bir şey olan yanlış sonuçlar içeriyor olsa bile. Birisinin görünüşe göre biraz çaba sarfettiği sorusunu sessizce reddetmek çok yapıcı değildir.

— Jazzmaniac

soruyu iptal ettim. açısal frekans

cinsinden düşünürsem , Fourier Dönüşümü:

ve Laplace Dönüşümü:

. o zaman aynı şey oldukları oldukça açıktır (sorta).

ω

$\omega$

X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

X (s) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— robert bristow-johnson

Fourier ve Laplace dönüşümünün açıkça birçok ortak noktası var. Bununla birlikte, bunlardan sadece birinin kullanılabileceği veya birini veya diğerini kullanmanın daha uygun olduğu durumlar vardır.

Her şeyden önce, tanımlarında sadece yerini rağmen tarafından ya da tersine, diğer dönüşümü birinden gitmek, bu genellikle Laplace dönüşümü verildiğinde yapılamaz veya Fourier dönüşümü işlevini . (Farklı indeksler kullanıyorum çünkü iki fonksiyon aynı zaman alan fonksiyonu için farklı olabilir) Sadece Laplace dönüşümünün bulunduğu işlevler vardır, örneğin, , $s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ , burada Heaviside basamak fonksiyonudur. Bunun nedeni, Laplace dönüşümünün tanımındaki integralin sadece için yakınsadığı, ki bu Fourier dönüşümü tanımındaki karşılık gelen integralin birleşmediği anlamına gelir, yani Fourier dönüşümü burada mevcut değildir durum. $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$

$X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

$s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$

$s$

Ayrıca ilgili bir sorunun bu cevabına bir göz atın .

— Matt L.
kaynak

Fourier dönüşümü ideal (nedensel olmayan, kararsız) sistemleri analiz etmek için yararlı bir araçtır: nedensel ve istikrarlı diyebilir misiniz?

— Vinz

@ user17604: Ne yazdığımı kastediyorum. Elbette nedensel ve kararlı (ve ideal olmayan) sistemler için de kullanabilirsiniz. Ancak önemli bir kullanım, Laplace dönüşümünün kullanılamadığı ideal sistemin (ideal frekans seçici filtreler gibi) analizidir.

— Matt L.

@MattL. Harika bir yanıt, ancak “sıfır olmayan başlangıç koşulları olan LTI sistemlerini analiz etmek” kafa karıştırıcı buldum, bir LTI sisteminin sıfır olmayan başlangıç koşulları nasıl olabilir?

@ 0MW: Evet, muhtemelen "aksi takdirde LTI olan sistemler (başlangıçta dinlenme durumundaysa)" demeliydim.

— Matt L.