Dijital filtre tasarımı için gerekli matematik alanları

Dijital filtre tasarımını öğrenmek istiyorum. Matematik bilgim lise düzeyinde. İnternet üzerinden matematik öğrenebilirim. O zaman, hangi matematik alanlarını öğrenmem gerekiyor?

Eğer kendiniz matematik öğrenmek için topları varsa. Filtre tasarımı yapmak için matematiğe hakim olmanız gereken iki alan şunlardır: Fonksiyonel Analiz ve dışbükey optimizasyon. Hemen hemen her filtre tasarımı bir optimizasyon probleminin sonucudur: Bu numarası kümesini, bu frekans bölgesindeki fourier dönüşümünün mutlak değeri aşağıdaki şekle sahip olacak şekilde bulun (frekans 0Hz ila 320Hz olduğunda bu iki sınır arasında, ve frekans 340Hz'den yüksek olduğunda bu ikisi arasında). Veya sayısı kümesi nedir, öyle ki sayı dizisinin ayrık kıvrımını bu sinyale uygularken sonuç bu sinyaldir . Ve onları tanımlamanın başka birçok yolu var.$N$$N$$x(n)$$y(n)$

Ve bir sinyalin nasıl modelleneceğini, bir sistemin nasıl modelleneceğini ve sinyaller (dönüşümler, kıvrımlar, vb.) Arasındaki etkileşimlerin ve işlemlerin nasıl modelleneceğini anlamak için fonksiyonel analize ihtiyacınız olacaktır.

Umarım yardımcı olur.

Başlamak:

Karışık sayılar

Bir filtrenin frekans yanıtı, hem büyüklük frekansı tepkisini hem de faz frekansı tepkisini açıklayan karmaşık değerli anlaşılması daha kolaydır. Karmaşık olabilecek kutupları ve sıfırları anlayabileceksiniz. Karmaşık sayılar, matematiği basitleştirecek negatif frekanslara sahip olmanızı sağlar.

Trigonometri

$\sin$ , ve bunların karmaşık üstel ile ilişkileri önemlidir. Sinüzoidal fonksiyonlar sadece genlikleri ve fazları etkilenen filtrelerden geçirilecektir.$\cos$$e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$

farklılaştırma

Basit bir filtrenin hangi frekansta zirve yaptığı veya düştüğünü bulmak için, büyüklük frekansı yanıtının türevinin hangi frekansta sıfır olduğunu çözebilirsiniz.

bütünleşme

Fourier dönüşümü ve ters Fourier dönüşümü için entegrasyon gereklidir.

Fourier dönüşümü

Fourier dönüşümü, frekans tepkisine ve geri dönüşe dürtü tepkisinden geçmenizi sağlar. Ayrıca, zaman alanında yaptığınız şeylerin, sıklık alanında basit bir karşılığı vardır ve bunun tersi de geçerlidir.

@George Theodosiou: Her türlü yüksek güçlü matematik konularına dalmak yerine (sadece bir kısmı sizin için yararlı olacaktır), DSP'ye yeni başlayanlar için iyi bir kitap okuyarak başlamanızı öneririm. "Dijital Sinyal İşleme Anlayışı" veya "Bilimsel ve Mühendis Dijital Sinyal İşleme Kılavuzu" gibi popüler kitaplar. Bu kitaplar kaşık okuyucuyu yavaş ve nazikçe besleyerek DSP öğrenmeye başlamak için gerekli olan matematiği içeriyordu. Daha sonra sizi şaşırtan kitaplarda bazı denklemlerle karşılaştığınızda, web'e gidebilir ve o denklemin matematiğini daha derinlemesine öğrenebilirsiniz.

George, dijital filtrelemeyi öğrenme arzunuz samimi ise ve coşkunuzu korursanız başarılı olursunuz. Susan B. Anthony'den alıntı yapmak için, "Başarısızlık imkansızdır." İyi şanslar.

Soruma cevap veren, yorum yapan ve inceleyenlere çok teşekkürler. Cevabım, Bay Bone'un önerdiği gibi Fonksiyonel Analizden başlamam gerektiğidir. Liseden hatırlıyorum, x'in bir polinomu y ile eşitlendiğinde, x ile y'nin fonksiyonunu verir. Ayrıca gerçek katsayılar için cebirin temel teoremini hatırlıyorum. O zaman bu bilgiden başlayabilirim.

Dijital filtre tasarımı için yukarıdaki cevapları takdir ediyorum ve bazı alanlar eklemek istiyorum.

İlk olarak, doğrusal dolgu ile sınırlayalım. Doğrusallık, zamanla değişmezliğin yanı sıra kök varsayımlardır. Onlarla birlikte, vektör uzayları, evrişim (integraller ve seriler) ve Fourier dönüşümleri (fonksiyonel analizin bir parçası, karmaşık ve trigonometri ile) doğal araçlar haline gelir. Bu araçların doğrusallık / zamanla değişmezliğin doğal sonuçları olduğu konusunda ısrar ediyorum, eğer bunu alırsanız, yavaşça ihtiyacınız olan araçlara yönlendirileceksiniz. Filtre tasarımında optimizasyon oldukça yaygındır.

Yan tarafta, ek alanları aklınızda tutabilirsiniz. Farklı oranlara sahip tamamlayıcı filtreler tasarlamak ilginizi çekebilir ve çok hızlı filtre tasarımı, filtre yapılarında (kafes, merdiven) ve spektral çarpanlara ayırmada da yararlı olan matris çarpanlarına ayırmanıza neden olabilir. Gerçek sistem uygulamasına (FPGA, mikrodenetleyici) giderseniz, sabit nokta veya tamsayı aritmetiğine dalmanız gerekebilir. Tabii ki, örnekleme teorisi, özellikle çok boyutlu (görüntü işleme) giderseniz, birinci dereceden bir gerekliliktir. Polinom sistemleri ve Gröbner üsleri ile daha yüksek mahematiğe bile dokunabiliriz .

Birçok konuya temel matematiksel ve temiz bir giriş yapmak için çok hoşlanıyorum, Gasquet & Witomski Fourier Analiz ve Uygulamaları: Filtreleme, Sayısal Hesaplama, Dalgacıklar .

Daha az bahsedilen bir konu ekleyeyim: büyük bir soru genellikle musluk sayısı ve belirli bir filtre tasarımını karşılamak için gereken hassasiyet (katsayı başına bit sayısı). İki kaynak:

• Ichige ve diğ. Optimum {FIR} dijital filtreler için minimum filtre uzunluğunun doğru tahmini, Devreler ve Sistemler üzerinde IEEE İşlemleri II: Analog ve Dijital Sinyal İşleme, 2000
• Bellanger, Dijital filtrelerde hesaplama karmaşıklığı üzerine , 1981