Kavramsal olarak ileri ve ters Kısa Zaman Fourier Dönüşümleri (STFT) ayrık bir zaman alanı sinyaline uygulandığında ne olduğunu anlamaya çalışıyorum. Allen ve Rabiner'ın ( 1977 ) klasik makalesini ve bir Wikipedia makalesini ( bağlantı ) buldum . Burada bulunacak iyi bir makale daha olduğuna inanıyorum .
Bir Gauss penceresiyle STFT'den başka bir şey olmayan Gabor dönüşümünü hesaplamakla ilgileniyorum.
Ileri STFT hakkında anlamak budur :
- Zaman etki alanı elemanlarından oluşan sinyalden bir alt dizi seçilir.
- Alt dizi, zaman alanında noktadan noktaya çarpma kullanılarak bir pencere işlevi ile çarpılır.
- Çarpılan alt dizi, FFT kullanılarak frekans alanına alınır.
- Art arda üst üste binen alt sekansları seçerek ve yukarıdaki prosedürü tekrarlayarak, m satır ve n sütun içeren bir matris elde ederiz . Her sütun, belirli bir zamanda hesaplanan alt dizidir. Bu bir spektrogram hesaplamak için kullanılabilir.
Bununla birlikte, ters STFT için, kağıtlar örtüşen analiz bölümleri hakkında bir özet hakkında konuşmaktadır. Burada olup bitenleri görselleştirmeyi çok zor buluyorum. Ters STFT'yi hesaplayabilmek için ne yapmam gerekiyor (yukarıdaki gibi adım adım)?
İleri STFT
İleri STFT için neler olduğunu düşündüğüm bir çizim hazırladım. Anlamadığım şey, alt dizilerin her birinin nasıl monte edileceğidir, böylece orijinal zaman dizisini geri alırım. Birisi bu çizimi değiştirebilir veya alt sekansların nasıl eklendiğini gösteren bir denklem verebilir mi?
Ters Dönüşüm
İşte ters dönüşüm hakkında anladığım şey. Birbirini izleyen her pencere IFFT kullanılarak zaman alanına geri alınır. Daha sonra her pencere adım boyutuna göre kaydırılır ve önceki vardiya sonucuna eklenir. Aşağıdaki şemada bu işlem gösterilmektedir. Toplanan çıktı zaman alanı sinyalidir.
Kod Örneği
Aşağıdaki Matlab kodu sentetik bir zaman alanı sinyali üretir ve daha sonra STFT işlemini test eder, bu da tersinin sayısal yuvarlama hatası içinde ileri dönüşümün ikili olduğunu gösterir . Sinyalin başlangıcı ve bitişi, pencerenin merkezinin zaman alanı sinyalinin ilk ve son elemanlarına yerleştirilebilmesini sağlamak için sıfır dolguludur.
% The code computes the STFT (Gabor transform) with step size = 1
% This is most useful when modifications of the signal is required in
% the frequency domain
% The Gabor transform is a STFT with a Gaussian window (w_t in the code)
% written by Nicholas Kinar
% Reference:
% [1] J. B. Allen and L. R. Rabiner,
% “A unified approach to short-time Fourier analysis and synthesis,”
% Proceedings of the IEEE, vol. 65, no. 11, pp. 1558 – 1564, Nov. 1977.
% generate the signal
mm = 8192; % signal points
t = linspace(0,1,mm); % time axis
dt = t(2) - t(1); % timestep t
wSize = 101; % window size
% generate time-domain test function
% See pg. 156
% J. S. Walker, A Primer on Wavelets and Their Scientific Applications,
% 2nd ed., Updated and fully rev. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2008.
% http://www.uwec.edu/walkerjs/primer/Ch5extract.pdf
term1 = exp(-400 .* (t - 0.2).^2);
term2 = sin(1024 .* pi .* t);
term3 = exp(-400.*(t- 0.5).^2);
term4 = cos(2048 .* pi .* t);
term5 = exp(-400 .* (t-0.7).^2);
term6 = sin(512.*pi.*t) - cos(3072.*pi.*t);
u = term1.*term2 + term3.*term4 + term5.*term6; % time domain signal
u = u';
figure;
plot(u)
Nmid = (wSize - 1) / 2 + 1; % midway point in the window
hN = Nmid - 1; % number on each side of center point
% stores the output of the Gabor transform in the frequency domain
% each column is the FFT output
Umat = zeros(wSize, mm);
% generate the Gaussian window
% [1] Y. Wang, Seismic inverse Q filtering. Blackwell Pub., 2008.
% pg. 123.
T = dt * hN; % half-width
sp = linspace(dt, T, hN);
targ = [-sp(end:-1:1) 0 sp]; % this is t - tau
term1 = -((2 .* targ) ./ T).^2;
term2 = exp(term1);
term3 = 2 / (T * sqrt(pi));
w_t = term3 .* term2;
wt_sum = sum ( w_t ); % sum of the wavelet
% sliding window code
% NOTE that the beginning and end of the sequence
% are padded with zeros
for Ntau = 1:mm
% case #1: pad the beginning with zeros
if( Ntau <= Nmid )
diff = Nmid - Ntau;
u_sub = [zeros(diff,1); u(1:hN+Ntau)];
end
% case #2: simply extract the window in the middle
if (Ntau < mm-hN+1 && Ntau > Nmid)
u_sub = u(Ntau-hN:Ntau+hN);
end
% case #3: less than the end
if(Ntau >= mm-hN+1)
diff = mm - Ntau;
adiff = hN - diff;
u_sub = [ u(Ntau-hN:Ntau+diff); zeros(adiff,1)];
end
% windowed trace segment
% multiplication in time domain with
% Gaussian window function
u_tau_omega = u_sub .* w_t';
% segment in Fourier domain
% NOTE that this must be padded to prevent
% circular convolution if some sort of multiplication
% occurs in the frequency domain
U = fft( u_tau_omega );
% make an assignment to each trace
% in the output matrix
Umat(:,Ntau) = U;
end
% By here, Umat contains the STFT (Gabor transform)
% Notice how the Fourier transform is symmetrical
% (we only need the first N/2+1
% points, but I've plotted the full transform here
figure;
imagesc( (abs(Umat)).^2 )
% now let's try to get back the original signal from the transformed
% signal
% use IFFT on matrix along the cols
us = zeros(wSize,mm);
for i = 1:mm
us(:,i) = ifft(Umat(:,i));
end
figure;
imagesc( us );
% create a vector that is the same size as the original signal,
% but allows for the zero padding at the beginning and the end of the time
% domain sequence
Nuu = hN + mm + hN;
uu = zeros(1, Nuu);
% add each one of the windows to each other, progressively shifting the
% sequence forward
cc = 1;
for i = 1:mm
uu(cc:cc+wSize-1) = us(:,i) + uu(cc:cc+wSize-1)';
cc = cc + 1;
end
% trim the beginning and end of uu
% NOTE that this could probably be done in a more efficient manner
% but it is easiest to do here
% Divide by the sum of the window
% see Equation 4.4 of paper by Allen and Rabiner (1977)
% We don't need to divide by L, the FFT transform size since
% Matlab has already taken care of it
uu2 = uu(hN+1:end-hN) ./ (wt_sum);
figure;
plot(uu2)
% Compare the differences bewteen the original and the reconstructed
% signals. There will be some small difference due to round-off error
% since floating point numbers are not exact
dd = u - uu2';
figure;
plot(dd);