Sürekli bir fonksiyonun örneklenmesi: Kronecker mi Dirac deltası mı?

Sinyal işleme konusunda bazı makaleler okudum ve sorumun başlığındaki konu hakkında çok kafam karıştı. Sürekli bir zaman işlevi göz önünde , eşit olmayan zamanlarda bir örnek olduğu, , burada . Bana göre, örneklenen işlevin mantıklı olduğu: burada olan Kronecker ö (eşit olduğunda , başka bir yerde sıfır). Ancak, bu makalede yazar örneklenen sinyali şu şekilde tanımlamaktadır: burada $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

f_{s} (t) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$ Dirac'ın delta işlevidir ve neden burada göründüğünü gerçekten anlamıyorum (yazar örnekleme işlevinin aslında delta işlevlerinin ağırlıklı toplamı olduğunu iddia eder ve burada . nedenini anlamak). Bu son ifade benim için pek bir anlam ifade etmiyor: örneklenen sinyalin sonsuz genliği olurdu !

1 / N

$1/N$

s (t) = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

Tüm bunlara rağmen , ikinci durumda in Fourier Dönüşümünü tanımlamak çok daha kolaydır (denklem ), çünkü bu sadece pencere fonksiyonunun (Dirac ) ve Sürekli sinyalin FT'si, denklem de FT biraz daha karmaşıktır çünkü sürekli fonksiyonla ( ) çarpılan bir tamsayı fonksiyonuna (Kronecker deltası ) sahiptir. Bununla ilgili önemli noktalar var mı? $f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— Néstor
kaynak

Sürekli bir zaman sinyalinin bir Dirac dürtü dizisi ile çarpılması yoluyla örnekleme sürecinin modellenmesi, benim deneyimimdeki en yaygın yorumdur. Eğer yeterince derinlemesine araştırırsanız, bu yaklaşımın matematiksel hassasiyeti hakkında bazı anlaşmazlıklar bulacaksınız *, ama endişelenmeyeceğim; sadece süreç için uygun bir model. Cep telefonunuzun ADC üreten analog girişlerini çoğaltan periyodik yıldırım cıvataları içinde impuls jeneratörleri yoktur.

Belirttiğiniz gibi, alanı sürekli olmadığı için (tamsayılarla sınırlıdır) Kronecker delta işlevinin sürekli zamanlı Fourier dönüşümünü hesaplayamazsınız. Dirac delta fonksiyonunun aksine, basit bir Fourier dönüşümü vardır ve bir sinyalin bir Dirac impuls dürtüleri ile çarpılması etkisinin eleme özelliği nedeniyle gösterilmesi kolaydır.

*: Örnek olarak, matematiksel olarak kesin olacaksanız, Dirac deltasının bir işlev değil, bunun yerine bir dağıtım olduğunu söyleyebilirsiniz . Ancak mühendislik düzeyinde, bu konular gerçekten sadece anlambilimdir.

Düzenle: Aşağıdaki yorumu ele alacağım. Örnekleme sürecinin zihinsel modelinizi şu şekilde verdiniz:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

Bu yorumdaki problem, tipik ideal örnekleme modelinin yerleşik entegrasyona sahip olmamasıdır. Bunun yerine, giriş sinyalinin bir Dirac dürtü dizisi ile saf bir çarpımıdır. için gösterdiğiniz denkleme daha yakından bakarsanız , sağ tarafın aslında bağımsız bir değişkeni olmadığını görürsünüz; , entegrasyonun yapay değişkenidir. Yukarıdaki herhangi bir için, Dirac impulse'un eleme özelliğine göre şunları elde edersiniz: $f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

ki bu doğru değil. Bunun yerine, örneklenen sinyalin modeli:

f_{s} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

Bu, zaman ekseni boyunca sonsuz uzun bir dürtü için genelleme yapmak ve verinin zaman örneklerinde eşit olarak örneklendiğini varsaymak dışında, yukarıdakilere çok benzer . Ortaya çıkan sinyalin Fourier dönüşümü: $t_k = kT$

\begin{aligned} F_{s} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (t) e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

Ayrık tanımlar, sinyal arasında örnek versiyonu için , daha sonra bırakılır: $f(t)$ $x[n] = f(nT)$

F_{s} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

tam da ayrık zamanlı Fourier dönüşümünün tanımıdır .

— Jason R
kaynak

Genliğin "sonsuz" olduğu gerçeğini nasıl ele alırsınız? Ne düşündüm genellikle aslında "ayrı bir zamanda sinyal örnek" değil , ancak daha ziyade belirli bir süre için sinyal entegre . Ancak bu yorum, Kierecker deltasıyla aynı nedenden ötürü Fourier Dönüşümünü hesaplamanın herhangi bir biçimini ihlal edecektir. Ayrıca ... verdiğim bağlantıdaki makalenin yazarı Dirac tarakını böler ? Bu benim için bir anlam ifade etmiyor.

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

— Néstor

Pratikte haklısın. Herhangi bir ADC'nin analog ön ucunun sonlu bant genişliği nedeniyle, analog sinyalin her zaman etkili bir "entegrasyon süresi" vardır. Bununla birlikte, teorik yapı bu tür endişelerle sınırlı değildir. Kabaca söylemek gerekirse, dürtünün "sonsuz yüksekliği" birliği ile bütünleşecek şekilde "sıfır genişliği" ile dengelenir. Bu durumda kısa süreli entegrasyon yorumunuzu uygularsanız (bir dürtü ile çarpma, sonsuz kısa bir süre için entegre etme), ardından eleme özelliği tarafından, elde edersiniz , genellikle olduğu gibi sundu.

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$

— Jason R

Evet, ama benim endişem yorum ile değil, daha dört dönüşümü almakla ilgili. Bahsettiğimiz örnekleme işlemini şu şekilde yazdığımı varsayalım: bunun fourier dönüşümünü nasıl ? olduğunda hile biliyorum , ama bu benim için çok anlamlı değil (ve FT yapmak daha da zor!). Bu şekilde olduğunu varsaysam bile, Roberts ve ark. bahsettiğim. Ve ısrar ediyorum ... benim için bir anlamı olmadığını.

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

— Néstor

Düzenlemenizle ve yukarıdaki yorumumdaki hatamla Tamam . Bununla birlikte, Dirac'ın Deltası sayesinde sonsuz genliğe sahip olduğu gerçeğini aklımdan , yani, aslında gözlemlediğimiz (ve istediğimiz to model)

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$

— Néstor