Neden FFT'nin gerçek kısmı görüntüyü döndürme + orijinal haline dönüştürüyor?

16

Bu resmi okudum:

tam olarak görüntüyü geri almak için FFT (2D) ve ardından Ters FFT'yi aldı. Kod referans olarak verilmiştir:

imfft = fft2(photographer);
im = uint8(ifft2(imfft));

imshow(im); %Output is same image

Ama Fourier'i değiştirip sadece gerçek rolü üstlendiğimde,

imfft = real(fft2(photographer));
im = uint8(ifft2(imfft));
imshow(im);

Böyle bir görüntü alıyorum ( boyut değişikliğinin alakasız olduğunu ve sadece Matlab şekil işleyicisinden kaydetme nedeniyle olduğunu unutmayın ):

Birisi bana arkasındaki teoriyi (matematik) açıklayabilir mi? Teşekkürler

image-processing fft fourier-transform

— Başarısız Bilim İnsanı
kaynak

16

Resminizin tarafından verildiğini varsayalım . Sonra Fourier dönüşümü $I(x,y)$

{ben}^{f} (ω_{x}, ω_{y}) = \int_{x} \int_{y} ben (x, y) e^{j ω_{x} x} e^{j ω_{y} y} d x d y

$I^f(\omega_x,\omega_y) = \int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy$

Şimdi gerçek kısmı al ve tersini yap:

\begin{aligned} {ben}_{m} (α, β) & = \int_{ω_{x}} \int_{ω_{y}} ℜ {{ben}^{f} (ω_{x}, ω_{y})} e^{j ω_{x} α} e^{j ω_{y} β} d ω_{x} d ω_{y} \\ = \int_{ω_{x}} \int_{ω_{y}} ℜ {\int_{x} \int_{y} ben (x, y) e^{j ω_{x} x} e^{j ω_{y} y} d x d y} e^{j ω_{x} α} e^{j ω_{y} β} d ω_{x} d ω_{y} \\ = \int_{x} \int_{y} ben (x, y) \int_{ω_{x}} \int_{ω_{y}} ℜ {e^{j ω_{x} x} e^{j ω_{y} y}} e^{j ω_{x} α} e^{j ω_{y} β} d ω_{x} d ω_{y} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} I_m(\alpha,\beta) &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{I^f(\omega_x,\omega_y)\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y \\ &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{\int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y\\ &= \int_x\int_yI(x,y)\int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_ydxdy \end{align}$

İç integralin 'nin olan olduğunu açıkça görebilirsiniz.

marul (ω_{x} x) marul (ω_{y} y) + günah (ω_{x} x) günah (ω_{y} y)

$\cos(\omega_xx)\cos(\omega_yy) + \sin(\omega_xx)\sin(\omega_yy)$

\frac{1}{2} [δ (x - α) δ (y - β) + δ (x + α) δ (y + β)]

$\frac{1}{2}\left[\delta(x-\alpha)\delta(y-\beta) + \delta(x+\alpha)\delta(y+\beta)\right]$

Sonucu ikame verir $I_m$

{ben}_{m} (x, y) = \frac{1}{2} [ben (x, y) + ben (- x, - y)]

$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(-x,-y)\right]$

Daki durumda Tabii ki , ancak ayrık Fourier sinyal olduğunu varsayar dönüşümü -periyodik ve elde ; burada resminizin boyutlarıdır. Sanırım neden bu sonucu aldığınızı görebiliyorsunuz. $x,y>0$ $N$

{ben}_{m} (x, y) = \frac{1}{2} [ben (x, y) + ben (N- - x, M - y)]

$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(N-x,M-y)\right]$

N, M

$N,M$

— THP
kaynak

Güzel cevap! +1

— Peter K.

3

I think you can see now why got that result.Evet. Ancak, bu soru HNQ listesine girdiğinden, belki de daha az matematiksel eğimli sitelerden gelenler için son adımı eklemeyi düşünebilirsiniz.

— Mast

9

Resim sonuç THP de çok basit cinsinden ifade edilebilir: Eğer değer olursa: Eğer sadece gerçek olarak (ters) bir Fourier Hermitesel simetriye sahip olacak dönüşümü olan bir veri kümesi varsa pozisyonunda , daha sonra başlangıç noktası hakkında yansıyan konumda karmaşık eşlenik değer bulacaksınız . Buradaki kökenin Fourier-uzayının merkezi olacağını unutmayın. DC bileşeni FFT uygulamanızın merkezinde değilse, bu elbette yeniden formüle edilebilir. Ve görüntünüzde gördüğünüz şey bu: Noktadan yansıyan bir sürüm gerçek görüntüyü kaplıyor - çünkü bir alanı gerçek değer vermeye zorladınız. $z$ $(x,y)$ $z^*$ $(-x,-y)$

Bu özellik aslında bazı durumlarda manyetik rezonans görüntülemeyi (MRI) hızlandırmak için kullanılmaktadır: MRI verileri doğrudan Fourier uzayında alır. İdeal bir MR görüntüsü yalnızca gerçek değerlerle tanımlanabildiğinden (tüm uyarılmış mıknatıslanma vektörleri faz 0'a sahiptir), görüntüleme alanının yarısını koruyan veri alanının yalnızca yarısını almanız gerekir. Tabii ki, MR görüntüleri gerçekliğin sınırlamaları nedeniyle tamamen gerçek değere sahip değildir ... ancak birkaç hile ile bu tekniği yine de avantajlı bir şekilde kullanabilirsiniz.

— M529
kaynak

2

ThP'nin verdiği aynı cevabı belirtmenin basit yolunu beğendim. Ve MRI hakkında bilgi için teşekkürler. Bunu bilmiyordum.

— Başarısız Bilim İnsanı