Sızdıran bir entegratör alçak geçiren bir filtre ile aynı şey midir?

Sızdıran bir entegratörü yöneten denklem (en azından Wikipedia'ya göre)

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$ .

Dolayısıyla, sürekli-zaman sızdıran bir entegratör , girişin bir miktar ölçeklendirmesine kadar, zaman sabiti sahip düşük geçişli filtre ile aynı şey midir?$A$

Sızdıran bir entegratör, geribildirim içeren birinci dereceden bir filtredir. Girişin ve çıkış olduğunu varsayarak, transfer işlevini bulalım :$x(t)$$y(t)$

$$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$$

$$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$$

burada , Laplace dönüşümünün uygulanmasını ifade eder . İleriye:$\mathcal{L}$

$$sY(s) + AY(s) = X(s)$$

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$$

(Laplace dönüşümünün olduğunu varsayarak, özelliğini kullanan özelliklerinden yararlanarak ).$\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$$y(0) = 0$

Aktarma fonksiyonu olan bu sistem, tek bir kutba sahiptir . frekansındaki frekans yanıtının, izin vererek bulunabileceğini unutmayın :$H(s)$$s = -A$$\omega$$s=j\omega$

$$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$$

Bu yanıtın kabaca bir görünümünü elde etmek için, önce :$\omega \to 0$

$$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$$

Dolayısıyla sistemin DC kazancı, geri besleme faktörü ile ters orantılıdır . Sonra, :$A$$w \to \infty$

$$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$$

Bu nedenle sistemin frekans yanıtı yüksek frekanslar için sıfıra gider. Bu, bir düşük geçiş filtresinin kaba prototipini takip eder. Diğer sorunuza zaman sabiti açısından cevap vermek için, sistemin zaman alanı yanıtını kontrol etmeye değer. Darbe yanıtı, transfer fonksiyonunun tersine dönüştürülmesiyle bulunabilir:

$$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$$

burada bir Birim basamak basamak fonksiyonu . Bu, Laplace dönüşümlerinin tablolarında sıklıkla bulunabilen çok yaygın bir dönüşümdür . Bu dürtü yanıtı, genellikle aşağıdaki biçimde yazılan üstel bir bozunma fonksiyonudur:$u(t)$

$$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$$

Burada , işlevin zaman sabiti olarak tanımlanır. Örneğin, örneğinizde, sistemin zaman sabiti .$\tau$$\tau = \frac{1}{A}$

Frekans yanıtı aynıdır, evet, ancak uygulama farklıdır:

• Alçak geçiren bir filtre ile sinyaliniz geçiş bandındadır. Filtrenin kesme frekansı, sinyalinizde tutmak istediğiniz en yüksek frekansın üzerine ayarlanır .
• Sızdıran bir entegratör ile sinyaliniz stop bandındadır. Filtrenin kesme frekansı, sinyalinizdeki en düşük frekansın altına ayarlanır .

Ayrıca, entegratörler her zaman birinci derecedeyken, düşük geçişli filtreler herhangi bir sipariş olabilir.