Bir altörnekleyicinin Z-dönüşümü

In Bu yazıda veya çoklu hızlı filtreleme, yazar aşağıdaki matematiksel ilişki kurar. , bir altörnekleyicinin çıktısı olsun ki $y_D$

y_{D} [n] = x [M n]

$y_D[n] = x[Mn]$

burada , altörnekleme faktörüdür. Başka bir deyişle, orijinal sinyalin her örneğini tutarız. Yazar daha sonra aşağıdakileri belirtmeye devam eder: $M$ $M$

... nin z-dönüşümü $y_D[n]$

$Y_{D} [z] = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} X [z^{1 / M} W^{k}]$ $Y_D[z]=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}X[z^{1/M}W^k]$
burada , noktası Ayrık Fourier Dönüşümü çekirdeğidir, yani . $W^k$ $M$ $e^{(-j2\pi k)/M}$

Önceki ifadeden son ifadeye nasıl geçebiliriz? DFT ile Z-dönüşümü arasındaki ilişki nedir?

dft downsampling z-transform

— Fonon
kaynak

Yanıtlar:

Bu türetme aldatıcıdır. Daha önce önerilen yaklaşımın bir kusuru vardır. Önce bunu göstereyim; o zaman doğru çözümü vereceğim.

Biz ilgili istediğiniz -transform alt örneklemeli sinyalinin için, -transform orijinal sinyal içinde . $\mathcal{Z}$ $Y_D(z) = \mathcal{Z}\{x[Mn]\}$ $\mathcal{Z}$ $X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\}$

Yanlış yol

Biri sadece altörneklenmiş sinyalin ifadesini -transform ifadesine takmayı düşünebilir : $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

değişkenindeki bir değişiklik açıktır: $n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Ancak, yeni toplamıdır endeksi halde olduğunu fark etmek önemlidir hala çalışır için , toplam sayıların tam sayı M dışına bitti 1'dir . Diğer bir deyişle, $n'$ $-\infty$ $\infty$

$n' \in M\mathbb{Z}=\{...,-2M,-M,0,M,2M,...\}$ ,

-transform tanımı, $\mathcal{Z}$

$n \in \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ .

Bu artık dönüşümü olmadığı için şunu yazamayız : $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = X(z^{1/M})$

Doğru yol

Önce bir 'yardımcı' impuls tren sinyali olarak tanımlayalım : $t_M[n]$

$\begin{align*} t_M[n] & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{\delta[n-kM]} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 & : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

Bu işlev her örneğinden birinde ve diğer her yerde sıfırdır. $1$ $M$

Eşdeğer olarak, pals dizisi işlevi şu şekilde yazılabilir:

$t_M[n] = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}$

İspat: ve ayrı ayrı ele almamız gerekir : $n \in M\mathbb{Z}$ $n \notin M\mathbb{Z}$

\begin{aligned} t_{M} [n] & = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} e^{j 2 π k n / M} \\ = {\begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} 1 & : n \in M Z \\ \frac{1}{M} \frac{1 - e^{j 2 π k n}}{1 - e^{j 2 π k n / M}} & : n \notin M Z \end{array} \\ = {\begin{array}{lr} \frac{1}{M} M & : n \in M Z \\ \frac{1}{M} \frac{1 - 1}{1 - e^{j 2 π k n / M}} & : n \notin M Z \end{array} \\ = {\begin{array}{lr} 1 & : n \in M Z \\ 0 & : n \notin M Z \end{array} \end{aligned}

$\begin{align*} t_M[n] & = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{1} && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-e^{j2\pi k n}}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} M && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-1}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 && : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$ durumda ,

n \notin M Z

$n \notin M\mathbb{Z}$

Şimdi , bir altörnekleyicinin dönüşümünü bulma konusundaki orijinal sorunumuza geri dönelim : $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Bunun, toplamın sadece M tamsayı katları üzerinde çalışmasını sağlayarak ikamesini uygularız : $n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Şimdi bunu tüm üzerinde bir özet olarak güvenli bir şekilde yeniden yazmak için yukarıdaki dürtü dizisi işlevini kullanabiliriz : $n \in \mathbb{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{t_M[n] x[n] z^{-n/M}}$

Darbe dizisi işlevi için yukarıdaki formülasyonu, üstel değerlerin sonlu bir toplamı olarak kullanarak:

$\begin{align*} Y_D(z) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{(\frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}) x[n] z^{-n/M}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{e^{j2\pi k n / M} x[n] z^{-n/M}}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[n] (e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})^{-n}}} \end{align*}$

Sağdaki toplamıdır olan sayıların üzerinde bir toplama ve dolayısıyla geçerli olan açısından -transform . Bu nedenle şunları yazabiliriz: $\mathcal{Z}$ $z'=e^{-j2\pi k / M} z^{1/M}$

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{X(e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})}$

Bu, bir altörnekleyicinin dönüşümü formülüdür . $\mathcal{Z}$

— user9037
kaynak

Çok hoş. Yukarıdaki cevabımı okurken aynı kusurları da fark ettim.

— Jason R

Bu notasyonu daha önce görmedim. Ancak, mantıklı görünüyor. aşağıdaki denklem ile tanımlanır -downsampler: $M$

y_{D} [n] = x [M n]

$y_D[n] = x[Mn]$

Bu denklem ile tanımlanmıştır dönüşümü: $z$

\begin{aligned} Y_{D} (z) & = Σ_{n = - \infty}^{\infty} y_{D} [n] z^{- n} \\ = Σ_{n = - \infty}^{\infty} x [M n] z^{- n} \end{aligned}

$\begin{align} Y_D(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty y_D[n]z^{-n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[Mn] z^{-n} \end{align}$

Değişken değişikliği uygulayın, . Toplamın aralıkları, sonsuza kadar uzandıkları için değişken değişikliğinden etkilenmez. $n' = Mn$

Y_{D} (z) = Σ_{n^{'} = - \infty}^{\infty} x [n^{'}] z^{- n^{'} / M}

$Y_D(z) = \sum_{n'=-\infty}^\infty x[n']z^{-n'/M}$

Bu , nin dönüşümüne benzer . Şu şekilde tanımlandığını hatırlayın: $z$ $x[n]$

X (z) = Σ_{n = - \infty}^{\infty} x [n] z^{- n}

$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}$

Bu nedenle teftiş yoluyla, ve nin dönüşümleri arasında aşağıdaki ilişkiyi sonuçlandırabiliriz : $z$ $x[n]$ $y_D[n]$

Y_{D} (z) = X (z^{1 / M})

$Y_D(z) = X\left(z^{1/M}\right)$

Bu nedenle, yakından ilgilidir aşağı örnekleyici çıkışının dönüşümü beklenen giriş sinyali dönüşümü. Frekans alanında, bu , sinyalin frekans içeriğinin katlanmasıyla sonuçlanır . $z$ $z$ $M$

Fakat yukarıdaki denklemden makalede referans aldığınız denkleme nasıl geçersiniz? Bu bir tanımını vermektedir açısından biz türetilmiş ifade bir fonksiyonu ise, sadece . Bu yüzden, belirli bir değeri için değerlendirmek istiyorum öncelikle hesaplamak olacaktır, en (yani almak arasında inci kök ) ve daha sonra bu içine yerine . Ancak, $Y_D(z)$ $z$ $z^{1/M}$ $z$ $Y_D(z)$ $z^{1/M}$ $M$ $z$ $X(z)$ Tüm sıfırdan farklı sahip belirgin inci kökleri $z \in \mathbb{C}$ $M$ $M$ :

{r_{p}, r_{p} e^{\frac{j 2 π}{M}}, r_{p} e^{\frac{j 2 π 2}{M}}, ..., r_{p} e^{\frac{j 2 π (M - 1)}{M}}}

$\left\{ r_p,\ r_p e^{\frac{j2\pi}{M}},\ r_p e^{\frac{j2\pi2}{M}},\ \ldots\ ,\ r_p e^{\frac{j2\pi(M-1)}{M}} \right\}$

= {r_{p}, r_{p} W, r_{p} W^{2}, ..., r_{p} W^{M - 1}}

$= \left\{ r_p,\ r_p W,\ r_p W^{2},\ \ldots\ ,\ r_p W^{M-1} \right\}$

burada , sorunuzda referans verilen DFT çekirdek değeri ve , karmaşık değer temel kökü olarak tanımladığım şeydir : $W_k$ $e^{j2\pi k / M}$ $r_p$ $M$ $z$

r_{p} = \sqrt[M]{| z |} e^{\frac{j ∠ z}{M}}

$r_p = \sqrt[M]{|z|} e^{\frac{j\angle{z}}{M}}$

Kendisine, 'nin başlıca -inci kök dönüştürülmesi suretiyle elde edilir alarak, kutupsal forma arasında inci kök (bir reel sayı olduğu) büyüklük ler ve bölünmesi' ile sitesindeki açısı . Elde edilen değerler, ifade kutupsal formda. $z$ $M$ $r_p$ $z$ $M$ $z$ $z$ $M$ $r_p$

Neden tüm bu sorunlara gidelim? Daha önce belirtildiği gibi, için, gelen eşleştirme etki alanına 'in alanı bire bir değildir. Şimdi biraz el yıkamaya başlayacağım. değerini değerlendirmek istediğiniz belirli bir değeri için, karşılık gelen noktaları vardır . Bu nedenle, bu noktalarının her biri $Y_D(z)$ $X(z^{1/M})$ $z$ $Y_D(z)$ $M$ $X(z^{1/M})$ $M$ karşılık gelen değerine katkıda. Daha sonra, kağıtta gösterilene benzer bir miktar elde edersiniz: $X(z^{1/M})$ $Y_D(z)$

Y_{D} (z) = \frac{1}{M} Σ_{k = 0}^{M - 1} X (r_{p} (z) W^{k})

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} X(r_p(z)W^k)$

burada , daha önce gösterdiğim temel kök hesaplamasına karşılık gelir . Gerçekte, herhangi almak olabilir s' asıl olarak inci kökleri; Bu tanımı seçtim çünkü en basit olanı. Bu ilişkiyi düzgün ve titizlikle türetecek olsaydınız, $r_p(z)$ $M$ $z$ $M$ ,bir türevi nedeniyle gelir. $\frac{1}{M}$ $z^{1/M}$

Matematikçi konuşmasında, bunun işlevlerin bir bileşimi olarak adlandırılacağına inanıyorum; , burada ve . Fonksiyon kompozisyonunu açmak ve sadece fonksiyonu olarak yazmak için $Y_D(z) = f(g(z))$ $f(z) = X(z)$ $g(z) = z^{1/M}$ $Y_D(z)$ $z$ bire bir parçalar halinde, işlevi bu aralıklar üzerinde ters çevirin ve ardından sonuçları uygun ölçeklendirme faktörleriyle toplayın. Orijinal rastgele değişkenin pdf verildiğinde rastgele bir değişkenin bir fonksiyonu olasılık dağılım işlevini hesaplamak için önce (örneğin pdf türetmek için bu tekniği kullandım $Y_D(z)$ verilen) 'in pdf, ancak tekniğin adı bana kaçar. $\sqrt{X}$ $X$

— Jason R
kaynak

Çok güzel bir cevap.

— Spacey

Teşekkürler. Herhangi bir lisanslı matematikçi bir açıklama girişimi kandırırdı (Açıkçası ben bir mühendisim). Çok net olduğunu düşünmüyorum, ama belki başka biri daha temiz bir açıklama önerebilir, ya da belki de bunu söylemenin daha iyi bir yolunu düşüneceğim.

— Jason R

İlk yarıyı anlıyorum, ama işler benim için sona doğru bulanıklaşıyor.

— Spacey

Şansım olduğunda ikinci yarıyı yeniden yazmalıyım. Gerçekten, iki fonksiyonun bileşimi için bir ifade türetmek için sadece standart bir tekniktir. Nasıl yapılacağına dair detayları hatırlamam gerekiyor.

— Jason R