Ergodik bir sürece iyi bir örnek nedir?

Ergodik bir sürecin basit örneklerini bulmaya çalışıyorum. Hangi süreç, özelliklerinin iyi bir örneği olarak aklınıza gelir?

Hızlı bir araştırma ( Wikipedia , başka bir cevap ) esas olarak ergodik olmayan süreçlere örnekler verir. Ayrıca, hangi gerçek dünya fenomenlerinin ergodik bir süreç olarak modellenmesini sağladığını merak ediyorum?

Sanırım size bir dizi sayı veriyorum ve size rastgele seçildiklerini söylüyorum. Ve biliyorsun seni kandırmaya çalışmıyorum. Sayılar: $3$ , $1$ , $4$ , $1$ , $5$ , $3$ , $2$ , $3$ , $4$ , $3$ .

Şimdi bir sonrakini tahmin etmenizi veya en azından mümkün olduğunca yakın olmanızı öneriyorum. Hangi numarayı seçerdiniz?

[Düşünün]

[Bilgi İşlem]

• $0$$6$
• $\pi$
• $2$$3$$4$$3$

Temel olarak, bilinmeyen bir kuralla numaralar sağladığımı varsayıyorsunuz. Ve belki de, verilen sayı dizisinin, yeterince uzunsa, aklımdaki kuralları iyi bir şekilde anlayabileceğini düşünebilir (veya hipotez yapabilirsiniz). Bunu yaparsanız, zihinsel sürecimin ergodik olduğunu varsayıyorsunuz:

her sekansın veya büyük numunenin bütünü eşit olarak temsil ettiği bir süreç (istatistiksel bir parametreye göre) ( Merriam-Webster )

$\pi$

$6$

Sonsuz sayıda başparmaklarınızla, tam olarak aynı saniyede, sonsuz sayıda jeton atamak yerine, her saniyede bir jeton atıyorsunuz ve nihai sonucun yaklaşık aynı olduğuna inanıyorsunuz.

Brown hareketi ergodik özelliklere de sahiptir.

Vikipedi makalesinden:

istatistiksel özellikleri sürecin tek, yeterince uzun rasgele bir örneğinden çıkarılabilirse, stokastik bir sürecin ergodik olduğu söylenir.

Başka bir deyişle: zaman topluluğu istatistik özellikleri, gerçekleşme topluluğu istatistik özellikleri ile aynıdır.

Belki bir adım geri çekilmeli ve bir başlangıç ​​yapmak için stokastik bir sürecin ne olduğu hakkında konuşmalıyız.

Fırtınalı bir gün olduğunu düşünün. Evde oturup pencereden dışarı bakıyorsunuz. Bazen, yaprakların pencereniz tarafından üflendiğini görürsünüz. Beyaz tahta işaretleyicilerinizi alır ve pencerenize bir koordinat sistemi çizersiniz, böylece artık birden çok yaprak yolunu gözlemleyebilir ve karşılaştırabilirsiniz:

Yani, her yolu bir gerçekleşme stokastik süreç "Fırtınalı günde leafpaths" nin.

$y$$x$

$x$$y$$x$

Ergodik olmayan vakayı anlamak genellikle daha zordur (bu yüzden insanlar bu tür süreçlerin örneklerini daha sık ararlar).

$X(t)$$t$$X$$0$$1$$\frac{1}{2}$

$N$$m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$$m\to \frac{1}{2}$

Sorunuzun ikinci kısmı ile ilgili olarak, sorunları basitleştirmek için ergodisite kullanabiliriz. Örneğin, topluluk ortalaması ile zaman ortalaması arasında hesaplanması zor veya hatta imkansız olabilir. Ancak sürecin ergodik olduğunu bildiğimiz (veya varsaydığımız) (yani aynı olduklarını) bildiğimiz için, sadece daha basit olanı hesaplıyoruz. Örnek olarak, iletim-alım zincirini simüle ettiğimiz ve birkaç kez tekrarladığımız ve sonuçları bulmak için sonuçları ortaladığımız Monte Carlo yöntemlerini (bir iletişim sisteminin hata performansını modellemek için kullandığımız gibi) düşünebilirim. topluluk özellikleri (hata olasılığı vb. gibi).