Gaussian Farkı, Gaussian Laplace ve Meksika Şapka Dalgacı Arasındaki Fark Nedir?

CV'de kullanılan ve birbirine çok benzeyen ancak farklılıkları olan üç teknik vardır:

• Gaussian Laplacian: $\nabla^2\left[g(x,y,t)\ast f(x,y)\right]$
• Gaussyalıların Farkı: $\left[g_1(x,y,t)\ast f(x,y)\right] - \left[g_2(x,y,t)\ast f(x,y)\right]$
• Ricker dalgacılı konvolüsyon : $\textrm{Ricker}(x,y,t)\ast f(x,y)$

Şu anda anladığım kadarıyla: DoG, LoG'un bir yaklaşımıdır. Her ikisi de damla tespitinde kullanılır ve her ikisi de esasen bant geçiren filtreler olarak çalışır. Meksika Şapkası / Ricker dalgacığı ile konvolüsyonun da aynı etkiyi sağladığı görülüyor.

Üç tekniği de bir darbe sinyaline uyguladım (büyüklükleri benzer hale getirmek için gerekli ölçekleme ile) ve sonuçlar oldukça yakın. Aslında, LoG ve Ricker neredeyse aynı görünüyor. Fark ettiğim tek gerçek fark DoG ile, LoG ve Ricker için 1'i ( ve σ 1 ) vs 1 ayarlamak için 2 ücretsiz parametrem vardı . Ayrıca dalgacığın en kolay / hızlı olduğunu gördüm, çünkü tek bir evrişim (çekirdeğin FT'si ile Fourier uzayda çarpma yoluyla yapıldı) ile DoG için 2 ve bir evrişim artı LoG için bir Laplacian. $\sigma_1$$\sigma_1$

• Her tekniğin karşılaştırmalı avantajları / dezavantajları nelerdir?
• Birinin diğerini gölgede bıraktığı farklı kullanım durumları var mı?

Ayrıca sezgisel düşünce, ayrı örneklerde, LoG ve Ricker aynı operasyon için dejenere, çünkü çekirdek olarak uygulanabilir [ - 1 , 2 , - 1$\nabla^2$ .

$$\begin{bmatrix}-1,& 2,& -1\end{bmatrix}\quad\text{or}\quad\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\quad\text{for 2D images}$$

Bu işlemi bir gaussian'a uygulamak Ricker / Hat dalgacığını doğurur. Ayrıca, LoG ve DoG, ısı difüzyon denklemi ile ilgili olduğundan, her ikisini de yeterli parametre ile çalıştırabileceğime inanıyorum.

(Hala bunları düzeltmek / açıklığa kavuşturmak için ayaklarımı bu şeylerle ıslatıyorum!)

Gauss'lu Laplace

$f$

$$\nabla^2 (f * g) = f * \nabla^2 g$$

$g$$*$

$$f * \nabla^2 g = f * \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}g+\frac{\partial^2}{\partial y^2}g\right) = f * \frac{\partial^2}{\partial x^2}g + f * \frac{\partial^2}{\partial y^2}g$$

Böylece, giriş görüntüsünün iki kıvrımının Gauss çekirdeğinin ikinci türevleriyle eklenmesi olarak hesaplamak mümkündür (3D'de bu 3 kıvrımdır, vb.). Bu ilginç çünkü Gauss çekirdeği ve türevleri gibi ayrılabilir. Yani,

$$f(x,y) * g(x,y) = f(x,y) * \left( g(x) * g(y) \right) = \left( f(x,y) * g(x) \right) * g(y)$$

yani 2B evrişim yerine aynı şeyi iki 1D evrişim kullanarak hesaplayabiliriz. Bu, birçok hesaplama tasarrufu sağlar. En küçük düşünülebilir Gauss çekirdeği için, her boyutta 5 örneğiniz olacaktır. 2D konvolüsyon 25 çarpma ve eklemeyi gerektirir, iki 1D konveksiyon 10 gerektirir.

Böylece, LoG dört adet 1D kıvrım kullanılarak hesaplanabilir. LoG çekirdeğinin kendisi ayrılamaz.

$\nabla^2$

Ricker dalgacık veya Meksika şapkası operatörü ölçeklendirme ve normalizasyona kadar LoG ile aynıdır .

Gaussluların Farkı

$f$

$$f * g_{(1)} - f * g_{(2)} = f * (g_{(1)} - g_{(2)})$$

Dolayısıyla, LoG'da olduğu gibi, DoG tek bir ayrılamayan 2D konvolüsyon veya iki ayrılabilir konveksiyonun toplamı (bu durumda fark) olarak görülebilir. Bunu bu şekilde görünce, DoG'u LoG üzerinde kullanmanın hiçbir hesaplama avantajı yok gibi görünüyor. Bununla birlikte, DoG ayarlanabilir bir bant geçiren filtredir, LoG aynı şekilde ayarlanamaz ve türev operatör olarak görülmelidir. DoG ayrıca görüntünün birçok ölçekte (farklı sigmalara sahip Gaussianlar) filtrelendiği ölçek alanı ayarında doğal olarak görünür, sonraki ölçekler arasındaki fark bir DoG'dir.

DoG çekirdeğinde ayrılabilir bir hesaplama vardır ve hesaplama maliyetini yarıya indirir, ancak bu yaklaşım izotropik değildir, bu da filtrenin dönme bağımlılığına yol açar.

Bir keresinde (kendim için) iki Gauss çekirdeği arasındaki sigma farkının sonsuz derecede küçük olduğu (ölçeklendirmeye kadar) bir DoG için LoG ve DoG'nin eşdeğerliğini gösterdim. Bunun kayıtları yok, ama bunu göstermek zor değildi.

Bu filtreleri hesaplamanın diğer biçimleri

Laurent'in cevabı , yinelemeli filtrelemeden bahseder ve OP, Fourier alanındaki hesaplamadan bahseder. Bu kavramlar hem LoG hem de DoG için geçerlidir.

Gauss ve türevleri nedensel ve anti-nedensel IIR filtresi kullanılarak hesaplanabilir. Bu nedenle, yukarıda belirtilen tüm 1D kıvrımları sigma olmadan sabit zamanda uygulanabilir. Bunun yalnızca büyük sigmalar için etkili olduğunu unutmayın.

Benzer şekilde, herhangi bir evrişim Fourier alanında hesaplanabilir, böylece hem DoG hem de LoG 2D çekirdekleri Fourier alanına dönüştürülebilir (ya da daha doğrusu orada hesaplanabilir) ve çarpma ile uygulanabilir.

Sonuç olarak

Bu iki yaklaşımın hesaplama karmaşıklığında önemli bir fark yoktur. Henüz DoG kullanarak LoG yaklaşık iyi bir neden bulmak için var.

Ricker dalgacık, (izotropik) Marr dalgacık, Meksika şapkası veya Gaussianların Laplacianı aynı kavramdır: sürekli kabul edilebilir dalgacıklar (belirli koşulları karşılayan). Geleneksel olarak, Ricker dalgacık 1D sürümüdür. Marr dalgacık veya Meksika şapkası, 2D görüntü ayrışmaları bağlamında verilen adlardır, örneğin, çok boyutlu geometrik gösterimler, iç içe, yön ve frekans seçiciliği üzerine bir panorama panoramik Bölüm 2.2'yi düşünebilirsiniz , Signal Processing, 2011, L. Jacques et ark. Gaussian Laplacian çok boyutlu genellemedir.

Bununla birlikte, uygulamada, insanlar farklı düzeylerde farklı takdir yetkilerini kabul ederler.

$3\times 3$$3\times 3$

$$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

ya da

$$\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 8 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ \end{pmatrix}$$ $5\times 5$

$\sigma_1$$\sigma_2$

Ancak, bazı Laplacian piramitlerinde, DoG'yi daha genel bant geçiren filtrelere veya kenar detektörlerine dönüştüren başka oranlar kullanılmıştır.

Son referans: Genelleştirilmiş Ölçek-Uzay İlgi Puanları Kullanılarak Görüntü Eşleştirme , T. Lindeberg, 2015.