Bu Moiré deseni neden böyle görünüyor?

Matlab'da Mobius dönüşümleri birkaç gif yapıyordum ve bazı garip desenler görünmeye başladı. Bu fenomeni anlamak için dosya türü / algoritma hakkında daha derin bir bilgiye ihtiyaç olup olmadığından emin değilim, ama belki de tamamen matematiksel bir açıklama olabileceğini düşündüm. Görüntü, karmaşık düzlemin bir dama tahtası gibi renklendirilmesi ve daha sonra karmaşık eşlenikin karşılıklı alınmasıyla ters çevrilmesiyle elde edilir. Belirli bir zoom ile görüntünün matematik psuedocode'u $k$:

$$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$$

Ve , ve . Her resmin çözünürlüğü . Sinyal işlemede arka planım yok, ama bir şeyler öğrenmeye hevesli olurum!k = 50 k = 200 1000 × $k=1$$k=50$$k=200$$1000\times 1000$

DÜZENLE:

• Daha spesifik olarak, Moiré deseni neden resmin belirli noktalarda çözünürlüğü ile 'senkronize' oluyor?
• Moiré paterni tahmin edilebilir mi?

Örnekleme teoremini anlamanız gerekir . Kısacası, her sinyalin spektrum ¹ dediğimiz şeye sahiptir ; bu, zaman alanında (zaman sinyali ise) sinyalin Fourier dönüşümü veya uzamsal alan (resim ise. Fourier dönüşümünden beri) iki yönlüdür, bir sinyal ve dönüşümü eşdeğerdir, aslında, Fourier Dönüşümü'nü temelde bir değişiklik olarak yorumlayabiliriz, biz buna "frekans alanına dönüşüm" diyoruz, çünkü Fourier dönüşümünün düşük koordinat değerleri yavaş değişen şeyleri tarif ediyor orijinal (zaman veya uzamsal) alan sinyalinde, yüksek frekanslı içerik yüksek konumlu Fourier dönüşüm değerleri ile temsil edilir.

Genel olarak, bu spektrumların belirli bir desteği olabilir ; destek spektrumun 0 olduğu minimum aralıktır.

Şimdi, frekansları yeniden üretme kabiliyeti, bahsedilen destekten daha küçük bir aralıkla sınırlı olan bir gözlemleme sistemi kullanıyorsanız (bu arada zaman ve mekanda sınırlı uzaması olan sinyaller için genellikle sonsuzdur ve her zaman sonsuzdur), bu sistemle orijinal sinyali temsil edemez.

Bu durumda, resminizin belirli bir çözünürlüğü vardır - sonuçta, işlevinizin değerini sabit, sonsuz olmayan bir aralıkta ayrı noktalarda değerlendirdiğiniz gerçeğidir. Bu boşluğun tersi (uzamsal) örnekleme oranıdır.

Böylece, resminiz orijinal sinyali temsil edemez - altta yatan işlevin piksellerle eşleştirilmesinin orijinal işleve gerçekten eşdeğer olması matematiksel olarak imkansızdır, çünkü bu durumda, ayrı noktalardaki değerlendirmenizle temsil edilebilen toplam frekans aralığının ( "örnekleme") yarım örnekleme oranı ve dolayısıyla, bir şey olmalı yarım örnekleme hızı üzerindedir sizin sinyalin spektrumunun bir parçası ile yanlış gidebilir.

Aslında olan, spektrumun takma adları frekansındaki her spektral bileşen, tarafından "kaydırılır" , böylece . Aslında, bu, bazılarının olmamalı (hissettirdiği) “yapıya” yol açar. n⋅f$f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$| f o - n f örneği | < f $n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$$|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

Resminizden yeşil boyadığım "büyük" yapıları alın:

Kesinlikle burada düşük frekanslı içerik var gibi görünüyor - ama gerçekte, düşük frekanslara takma olan frekanslarındaki yüksek frekanslı içerik, örnekleme oranının tamsayısı.$>\frac{f_\text{sample}}2$

Bu nedenle, evet , örneklendiğinde 2D sinyaline gelen yapay nesneleri Fourier dönüşümünü örnekleme oranı tarafından sunulan bant genişliğiyle karşılaştırarak tahmin edebilirsiniz.

---

¹ bu, operatörlerin Öz özelliklerini tanımlamak için doğrusal cebirde kullanılan spektrumdan farklı olabilir.