Tutarlı Örnekleme için Niceleme Gürültüsü - Faz Gürültüsü?

Güncelleme: Bu yayının altındaki eklenen düşüncelere bakın.

---

Aşağıda açıklananlarla kısıtlanmayan genel örnekleme koşulları altında (örnekleme saati ile ilgisiz sinyal), nicemleme gürültüsü genellikle bir nicemleme seviyesi üzerinde tekdüze bir dağılım olarak tahmin edilir. İki ADC, karmaşık bir sinyalin örneklenmesini oluşturmak için I ve Q yollarıyla birleştirildiğinde, niceleme gürültüsü, aşağıda simüle edildiği gibi hem genlik hem de faz gürültü bileşenlerine sahiptir. Gösterildiği gibi, bu gürültü, I ve Q bileşenleri bir sinyalin 45 ° açısında olduğu gibi genliğe ve faza eşit olarak katkıda bulunduğu zaman üçgen bir dağılıma sahiptir ve sinyal eksende olduğunda eşittir. Bu, her I ve Q için nicelik gürültüsünün ilişkisiz olması nedeniyle beklenir, böylece dağılımlar, her ikisi de çıktı sonucuna katkıda bulunurken kıvrılır.

Sorulması gereken soru, faz gürültüsünün bu dağılımının tutarlı örnekleme vakaları için önemli ölçüde değişip değişmediğidir (örnekleme saatinin kendisinin bir faktör değil çok daha üstün faz gürültüsü olduğunu varsayın)? Özellikle, tutarlı örneklemenin nicelemeyle ilgili faz gürültüsünü önemli ölçüde azaltıp azaltmayacağını anlamaya çalışıyorum. Bu, tutarlılığın kolayca korunabileceği saat sinyali üretimi için doğrudan uygulanabilir.

Hem gerçek sinyalleri (bir ADC) hem de karmaşık sinyalleri (iki ADC; biri I için ve biri Q için birlikte tek bir karmaşık örneği tanımlayan) düşünün. Gerçek sinyal durumunda, girdi tam ölçekli bir sinüs dalgasıdır ve faz terimi analitik sinyalden türetilir; sinüzoidal bir tonun sıfır geçişindeki değişikliklerle ilgili titreşim, gerçek bir sinyal için ortaya çıkan faz gürültüsünün bir örneği olacaktır. Karmaşık sinyaller için, giriş tam ölçeklidir$Ae^{j \omega t}$gerçek ve hayali bileşenlerin her biri tam ölçekte sinüs dalgaları olacaktı.

Bu, tutarlı örneklemenin iyi tanımlandığı, ancak faz gürültüsünden özellikle bahsedilmediği bu soru ile ilgilidir:

Tutarlı Örnekleme ve Niceleme Gürültüsünün Dağılımı

İndüklenen AM ve PM gürültü bileşenlerini daha açık bir şekilde tanımlamak için, belirli bir örnekleme anında sürekli bir zamanda karmaşık bir vektörü gösteren karmaşık nicemleme durumu için aşağıdaki grafiği ekledim. sinyalin gerçek ve hayali kısımlarının nicemleme seviyelerinin düzgün dağılımı.

İndüklenen genlik hatasını ve faz hatasını göstermek için yukarıdaki grafikte nicemlemenin gerçekleştiği yere yakınlaştırma:

Böylece keyfi bir sinyal verilir.

$$\begin{align} s(t) &= a(t) e^{j\omega t} \\ &= a(t) \cos(\omega t) + j a(t) \sin(\omega t) \\ &= i(t) + j q(t) \\ \end{align}$$

Nicelenmiş sinyal, tarafından verilen en yakın mesafe noktasıdır.

$$s_k = i_k+ j q_k$$

Nerede $i_k$ ve $q_k$ her biri aşağıdakilere göre eşlenen nicelenmiş I ve Q seviyelerini temsil eder:

$$\mathcal{Q}\{x\} = \Delta \Bigl \lfloor \frac{x}{\Delta}+\tfrac{1}{2} \Bigr \rfloor$$

Nerede $\lfloor (\cdot) \rfloor$zemin fonksiyonunu temsil eder ve$\Delta$ ayrı bir nicemleme seviyesini temsil eder.

$$\begin{align} i_k = \mathcal{Q}\{i(t_k)\} \\ q_k = \mathcal{Q}\{q(t_k)\} \\ \end{align}$$

Genlik hatası: $|s(t_k)|-|s_k|$ nerede $t_k$ o zaman $s(t)$ üretmek için örneklendi $s_k$.

Faz hatası $\arg\{s(t_k)\} - \arg\{s_k\} = \arg\{s(t_k) \cdot (s_k)^*\}$ burada * karmaşık konjugatı temsil eder.

Bu yazı için soru, örnekleme saati giriş sinyali ile orantılı olduğunda (tamsayı katsayısı) faz bileşeninin doğası nedir?

Yardımcı olmak için, burada I ve Q'da 6 bit nicemleme ile karmaşık nicemleme durumu için genlik ve faz hatalarının simüle edilmiş dağılımları vardır. Bu simülasyonlar için gerçek sinyalin "gerçeğin" bir nicemlemede herhangi bir yerde olması muhtemel olduğu varsayılmaktadır. sektör, yukarıdaki şemada gösterilen ızgara olarak tanımlanmıştır. Sinyal kadranlardan biri (tümü I veya tümü Q) boyunca olduğunda, gerçek sinyallerle tek ADC durumunda dağılım beklendiği gibi eşittir. Ancak sinyal 45 ° açıyla olduğunda dağılım üçgen şeklindedir. Bu durum, sinyallerin her birinin ilişkisiz düzgün dağılımlar olduğu eşit I ve Q katkılarına sahip olması anlamlıdır; böylece iki dağıtım üçgen şeklinde kıvrılır.

Sinyal vektörü 0 ° döndürüldükten sonra, büyüklük ve açı histogramları beklendiği gibi çok daha eşittir:

---

Güncelleme: Belirli bir soruya hala bir cevaba ihtiyacımız olduğu için (Olli'nin aşağıdaki cevabı, üçgen ve düzgün gürültü yoğunluklarını güncellememe yol açan gürültünün özellikleri, ancak faz gürültüsünün özellikleri hakkında iyi bir açıklama sundu. tutarlı örnekleme koşulları hala zor), ben gerçek bir cevap veya daha fazla ilerleme karıştırabilir aşağıdaki düşünceler sunuyoruz (Bunların çoğu muhtemelen yanlış yönlendirilmiş ama henüz sahip değilim cevabı almak yararına düşünceler):

Tutarlı örnekleme koşullarında, örnekleme hızının giriş frekansının tamsayı katı olduğunu (ve fazın da kilitlendiğini) unutmayın. Bu, karmaşık bir sinyal ve örnekleme için karmaşık düzlemde bir kez döndüğümüzde veya gerçek bir sinyal ve örnekleme (tek ADC) için bir sinüsoid döngüsünün bir tamsayı sayısı olacağı anlamına gelir.

Ve tarif edildiği gibi, örnekleme saatinin kendisinin çok daha üstün olduğu ve bu nedenle bir katkı olarak değerlendirilmediğini varsayıyoruz. Bu nedenle numuneler her seferinde tam olarak aynı yere inecektir.

Gerçek sinyal göz önüne alındığında, faz gürültüsünün belirlenmesinde sadece sıfır geçişlerle ilgiliysek, tutarlı örneklemenin sonucu sadece sabit ama tutarlı bir gecikme değişimi olacaktır (ancak yükselen ve düşen kenarlar farklı gecikmelere sahip olabilir) tutarlılık tek bir tamsayı olduğunda). Açıkçası karmaşık örnekleme durumunda, her örnekte faz gürültüsü ile ilgileniyoruz ve bunun gerçek durum için de aynı olacağından şüpheleniyorum (şüphem, "gerçeğin" herhangi bir anında bir numunenin zaman gecikmesi olacaktır. faz gürültü bileşeni ama sonra da genlik farkı ne olduğunu çift sayıyorum eğer kafam karışıyor ...) Zamanım varsa, ben tek tek yinelenen desen verilen giriş sinyalinin tamsayı harmonik gösterecektir gibi ben bunu simüle edecek döngü, ve faz ile genliğin testi harmoniklerin temel ile rölatif arasındaki bağıl fazı olacaktır - simülasyon veya hesaplama yoluyla görülmesi ilginç olan şey, bu harmoniklerin (gerçek bir sinyal için hepsinin karmaşık eşlenik muadilleri olacaktır) toplamı temel veya faz ile dördüncül olarak ve bu nedenle tüm faz gürültüsü, tüm genlik gürültüsü veya her ikisinin bir bileşimi olduğu gösterilmiştir. (Çift sayıda örnek ile tek sayı arasındaki fark muhtemelen bunu etkileyebilir).

Kompleks durumunda, Olli'nin orantılı sayıda örnekle yapılan grafiği, gösterilen her nicemlenmiş örnekle ilişkili "gerçek" üzerindeki örnek konumunu göstermesi durumunda daha fazla fikir verebilir. Yine tek veya çift sayıda örnek varsa ilginç bir fark olasılığını görüyorum (grafiği eşitti ve sonuçlanan simetriyi gözlemliyorum, ancak genlik gürültüsüne karşı faza ne yapabileceğinden daha fazlasını göremiyorum). Benim için net görünen şey, hem gerçek hem de karmaşık durumlarda gürültü bileşenlerinin, sadece örnekleme tutarlı olduğunda temel frekansın tamsayı harmoniklerinde var olmasıdır. Dolayısıyla, faz gürültüsü hala şüphelendiğim gibi mevcut olsa da, tamsayı harmoniklerindeki konumu, sonraki filtreleme ile ortadan kaldırılmaya çok daha elverişlidir.

(Not: Bu, yüksek spektral saflıkta referans saat sinyallerinin üretilmesi için geçerlidir.)

Hakkında bir şüphe var (Düzenle: bu daha sonra sorudan kaldırıldı):

Bu AM ve PM gürültü bileşenlerinin dağılımının, giriş sinyali örnekleme saati ile ilişkisiz olduğu sürece, tekdüze olduğu varsayılabilir.

Sinyali düşünün:

$$\operatorname{signal}(t) = \cos(t) + j\sin(t)$$ ve miktar ölçümü: $$\operatorname{quantized\_signal}(t) = \frac{\operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)}{N} + j\times\frac{\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big)}{N}$$

bir niceleme adımı için $1/N$ hem I hem de Q bileşenlerinin ( $N = 5$ Şeklinizde).

Şekil 1. Sinyal izi (mavi çizgi) ve nicemlemesi (siyah noktalar) ve sinyalin farklı kısımlarının hangi yolla nicelendirildiğini görmek için aralarında bir geçiş $N=5$. "Dönüşüm" basitçe bir dizi ek parametrik grafiktir$a\operatorname{signal}(t) + (1-a)\operatorname{quantized\_signal}(t)$ en $a = \left[\frac{1}{5}, \frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right].$

Nicemleme hatası nedeniyle fazdaki hata:

$$\operatorname{phase\_error}(t) = \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big)\Big)\\- \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{signal}(t)\big)\Big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{atan}\big(N\sin(t), N\cos(t)\big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{mod}(t-\pi, 2\pi) + \pi$$

Sarılmış fazları çıkarmak risklidir, ancak bu durumda çalışır.

Şekil 2. $\operatorname{phase\_error}(t)$ için $N = 5$.

Bu parça-bilge doğrusal bir fonksiyondur. Tüm çizgi segmentleri sıfır seviyesini geçer ancak diğer çeşitli seviyelerde sona erer. Bu,$t$ Tekdüze rastgele değişken olarak, olasılık yoğunluk fonksiyonunda $\operatorname{phase\_error}(t),$sıfıra yakın değerler aşırı temsil edilir. Yani$\operatorname{phase\_error}(t)$ tekdüze bir dağılımı olamaz.

Asıl soru göz önüne alındığında, Şekil 1'e bakıldığında, yeterince yüksek $N$ve kompleks sinüzoidin böyle bir frekansı, her bir örnekleme aralığı boyunca sinyalin birkaç niceleme sınırını aştığında, numunelerdeki nicemleme hatalarının, sayı teorisinin tuhaflıklarından gelen sabit bir psödondom sayıları dizisidir. Hatalar frekansa ve$N,$ve aynı zamanda, frekans, örnekleme frekansının bir katının bir alt-üçü ise, bu durumda nicemleme hatası, olası tüm nicemleme hata değerlerini ihtiva etmeyen bir tekrar dizisidir. Büyük sınırında$N$I ve Q hatalarının dağılımları aynıdır ve faz ve büyüklük hataları, sinyal fazına bağlı dağılımlardan gelen yalancı sayılardır. Faz bağımlılığı oradadır çünkü dikdörtgen nicemleme ızgarasının bir yönü vardır.

Büyük sınırında $N,$faz hatası ve büyüklük hatası, karmaşık hatanın dikey bileşenleridir. Büyüklük hatası, sonsuz nicemleme adımıyla orantılı olarak ifade edilebilir ve faz hatası,$\arcsin$nicemleme aşamasının. Sinyal aşamasında$\alpha$ büyüklük hatası açısal yönde $\alpha$ ve faz hatası açısal yöndedir $\alpha + \pi/2$. Karmaşık nicemleme hatası, I ve Q eksenleri boyunca yönlendirilmiş bir nicemleme adımında eşit olarak dağıtılır ve koordinatlardaki köşeler niceleme adımıyla orantılı olarak ifade edilir:

$$\big[(1/2, 1/2),\quad(-1/2, 1/2),\quad(-1/2, -1/2),\quad(1/2, -1/2)\big]$$

Bu koordinatların dönüşü veya bunların orantılı faz hatası ve orantılı büyüklük hata eksenlerine eşzamanlı olarak yansıtılması, düğümlerle aynı düz üst parça-bilge doğrusal olasılık yoğunluk fonksiyonunu verir:

$$\left[\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad \frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2}\right] = \left[\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad \sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4)\right]$$

Şekil 3. Sinyal açısı göz önüne alındığında, orantılı faz hatası ve oransal büyüklük hatasının paylaşılan parça-bilişsel doğrusal düz-üst olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) düğümleri $\alpha$. at$\alpha \in \{-\pi, -\pi/2, 0, \pi/2, \pi\}$PDF dikdörtgen şeklindedir. Bazı düğümler de$\alpha \in \{-3\pi/4, -\pi/4, \pi/4, 3\pi/4\}$ en kötü durumda büyük bir üçgen PDF$N$ asimptotik tahmin 1) maksimum mutlak büyüklük hatası $\sqrt{2}/2$ niceleme adımları ve 2) maksimum mutlak faz hatası $\sqrt{2}/2$ zamanlar $\arcsin$ nicemleme aşamasının.

Ara aşamalarda PDF, örneğin şöyle görünür:

Şekil 4. Paylaşılan PDF $\alpha = \pi/8.$

Dan'ın önerdiği gibi, PDF aynı zamanda büyüklük ve faz hata eksenlerine yansıtılan I ve Q hatalarının dikdörtgen PDF'lerinin bir dönüşümüdür . Yansıtılan PDF'lerden birinin genişliği:$|\cos(\alpha)|$ve diğerinin genişliği $|\sin(\alpha)|$. Kombine varyansları$\cos^2(\alpha)/12 + \sin^2(\alpha)/12 = 1/12,$ üniforma giymek $\alpha$.

Başlangıç ​​fazının bazı "sahte" kombinasyonları ve karmaşık sinüzoidin frekansının ve örnekleme frekansının rasyonel sayı oranı, tekrar eden sekanstaki tüm numuneler için sadece küçük bir hata veren kombinasyonlar olabilir. Şekil l'de görülen hataların simetrileri nedeniyle, maksimum mutlak hata anlamında, bu frekanslar, daire üzerinde ziyaret edilen nokta sayısının 2'nin katı olduğu bir avantajdır, çünkü şans (düşük hata) puanların sadece yarısı. Noktaların geri kalanındaki hata, işaret döndürmeleri ile ilk olarak ne olduklarının kopyalarıdır. En az 6, 4 ve 12 katları daha da büyük bir avantaja sahiptir. Burada tam kuralın ne olduğundan emin değilim, çünkü her şeyin bir katı olmakla ilgili gibi görünmüyor. O' Modüler aritmetik ile birleştirilmiş grid simetrileri hakkında bir şeyler. Bununla birlikte, yalancı hata hataları belirleyicidir, bu nedenle kapsamlı bir arama en iyi düzenlemeleri ortaya çıkarır. Kök-ortalama-kare (RMS) mutlak hata anlamında en iyi düzenlemeleri bulmak en kolayıdır:

Şekil 5. Üst) Kare niceleme ızgarası kullanarak çeşitli osilatör bit derinlikleri için karmaşık IQ osilatöründe mümkün olan en düşük RMS mutlak niceleme hataları . Sözde düzenlemeler için kapsamlı arama için kaynak kodu yanıtın sonunda. Alt) Karşılaştırma için gösterilen detay (açık mavi)$N\to\infty$ RMS mutlak nicemleme hatasının asimptotik tahmini, $\sqrt{1/6}/N,$ için $N=2^k-1,$ nerede $k+1$ osilatör bitlerinin sayısıdır.

En belirgin hata frekansının büyüklüğü hiçbir zaman RMS mutlak hatadan daha fazla değildir. 8-bit osilatör için, özellikle iyi bir seçim$12$ yaklaşık olarak birim çember üzerinde bulunan noktalar:

$$\frac{\{(0, \pm112),\quad (\pm112, 0),\quad (\pm97, \pm56),\quad (\pm56, \pm97)\}}{112.00297611139371}$$

Artan açısal düzende karmaşık düzlemde bu noktalardan geçen ayrı bir kompleks sinüsoid, sadece 5. harmonik bozulmaya sahiptir ve $-91.5$ dB, cevabın sonunda Oktav kaynak kodu tarafından onaylandığı gibi, temel ile karşılaştırılmıştır.

Düşük RMS mutlak nicemleme hatası elde etmek için, frekansların yaklaşık fazlarda olduğu gibi noktalardan geçmesi gerekmez $[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]\cdot 2\pi/12$ frekans için $1/12$örnekleme sıklığının çarpımı. Örneğin, frekans$5/12$ örnekleme sıklığının aynı noktalardan farklı bir sırayla geçmesi: $[0, 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7]\cdot 2\pi/12$. Bence bu işe yaradığı gibi çalışıyor çünkü 5 ve 12 ikilidir .

Olası mükemmel düzenlemeler hakkında, sinüsoid frekansı örnekleme frekansının dörtte biri ise hata tüm noktalarda tam olarak sıfır olabilir (faz artışı $\pi/2$örnek başına). Kare ızgarada, böyle mükemmel düzenlemeler yoktur . Altıgen bir ızgarada veya I veya Q eksenlerinden birinin bir faktörle gerilmiş kare olmayan dikdörtgen bir ızgarada$\sqrt{3}$ (böylece petek ızgarasındaki her ikinci satıra eşdeğerdir), bir faz artışı $\pi/3$örnek başına mükemmel çalışır. Bu ölçeklendirme analog alanda yapılabilir. Bu, şebekenin simetri eksenlerinin sayısını arttırır, bu da sahte sahte düzenlemelerde çoğunlukla olumlu değişikliklerle sonuçlanır:

Çeşitli osilatör bit derinliğinde için karmaşık IQ osilatör Şekil 6. Mümkün olan en düşük RMS mutlak nicemleme hatalarını, bir ile ölçeklenmiş eksenlerinden biri dikdörtgen niceleme ızgara$\sqrt{3}$.

Özellikle, daire üzerinde 30 noktalı bir 8-bit osilatör için, mümkün olan en küçük RMS mutlak hatası kare ızgarada -51.3 dB ve en düşük-RMS-mutlak hatanın olduğu kare olmayan dikdörtgen ızgarada -62.5 dB'dir. sözde dizide hata var:

Şekil 7. 30 bitlik bir 8-bit sahte dizisi ile IQ düzlemindeki hatanın değerleri, bir faktör tarafından gerilmiş niceleme ızgarasında bulunan simetri eksenlerinden yararlanır $\sqrt{3}$yatay. Noktalar, simetri eksenleri etrafında döndürülen sadece üç sahte karmaşık sayıdan geliyor.

IQ saat sinyalleri ile ilgili pratik bir deneyimim yok, bu yüzden neyin önemli olduğundan emin değilim. Saat sinyali üretimi ile, bir dijital-analog dönüştürücü (DAC) kullanarak, iyi sahte düzenlemeler kullanılmadıkça, daha yüksek bir harmonik gürültü spektrumuna sahip olmaktan daha düşük bir beyaz gürültü tabanına sahip olmanın daha iyi olduğundan şüphelenirim. tekrarlayan bir nicemleme sırası dizisinden gelen ani yükselmeler (bkz. Tutarlı Örnekleme ve Nicemleme Gürültüsünün Dağılımı ). Bu spektral ani artışlar, aynı zamanda beyaz gürültü de parazit kapasitans yoluyla sızabilir ve sistemin diğer kısımlarında istenmeyen etkilere neden olabilir veya cihazın elektromanyetik uyumluluğunu (EMC) etkileyebilir. Bir benzetme olarak, yayılı spektrum teknolojisi, spektral sivri uçları en düşük gürültü seviyesine çevirerek EMC'yi geliştirir.

C ++ 'da ayrıntılı sahte düzenleme araması için kaynak kodu aşağıdadır. En az 16-bit osilatörler için en iyi düzenlemeleri bulmak için bir gecede çalıştırabilirsiniz.$1 \le M \le 100$.

// Compile with g++ -O3 -std-c++11

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex>
#include <float.h>
#include <algorithm>

// N = circle size in quantization steps
const int maxN = 127;
// M = number of points on the circle
const int minM = 1; 
const int maxM = 100;
const int stepM = 1;
// k = floor(log2(N))
const int mink = 2;
const double IScale = 1; // 1 or larger please, sqrt(3) is very lucky, and 1 means a square grid

typedef std::complex<double> cplx;

struct Arrangement {
  int initialI;
  int initialQ;
  cplx fundamentalIQ;
  double fundamentalIQNorm;
  double cost;
};

int main() {
  cplx rotation[maxM+1];
  cplx fourierCoef[maxM+1];
  double invSlope[maxM+1];
  Arrangement bestArrangements[(maxM+1)*(int)(floor(log2(maxN))+1)];
  const double maxk(floor(log2(maxN)));
  const double IScaleInv = 1/IScale;
  for (int M = minM; M <= maxM; M++) {
    rotation[M] = cplx(cos(2*M_PI/M), sin(2*M_PI/M));
    invSlope[M] = tan(M_PI/2 - 2*M_PI/M)*IScaleInv;
    for (int k = 0; k <= maxk; k++) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost = DBL_MAX;
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm = 1;
    }
  }
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int m = 0; m < M; m++) {
      fourierCoef[m] = cplx(cos(2*M_PI*m/M), -sin(2*M_PI*m/M))/(double)M;
    }
    for (int initialQ = 0; initialQ <= maxN; initialQ++) {
      int initialI(IScale == 1? initialQ : 0);
      initialI = std::max(initialI, (int)floor(invSlope[M]*initialQ));
      if (initialQ == 0 && initialI == 0) {
    initialI = 1;
      }
      for (; initialI*(int_least64_t)initialI  <= (2*maxN + 1)*(int_least64_t)(2*maxN + 1)/4 - initialQ*(int_least64_t)initialQ; initialI++) {
    cplx IQ(initialI*IScale, initialQ);
    cplx roundedIQ(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
        cplx fundamentalIQ(roundedIQ*fourierCoef[0].real());
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
          fundamentalIQ += roundedIQ*fourierCoef[m];
    }
    IQ = fundamentalIQ;
    roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
    double cost = norm(roundedIQ-IQ);
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
      cost += norm(roundedIQ-IQ);
    }
    double fundamentalIQNorm = norm(fundamentalIQ);
    int k = std::max(floor(log2(initialI)), floor(log2(initialQ)));
    //  printf("(%d,%d)",k,initialI);
    if (cost*bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm < bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost*fundamentalIQNorm) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k] = {initialI, initialQ, fundamentalIQ, fundamentalIQNorm, cost};
    }
      }
    }
  }
  printf("N");
  for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
    printf(",%d-bit", k+2);
  }
  printf("\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    printf("%d", M);
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf(",%.13f", sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
    printf("\n");
  }

  printf("bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf("%d,%d,%.13f,%.13f,%.13f,%d,%d,%.13f\n", k+2, M, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm), real(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), imag(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialI, bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialQ, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
  }
}

Bulunan ilk örnek diziyi açıklayan örnek çıktı IScale = 1:

bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms
8,12,112.0029761113937,112.0029761113937,0.0000000000000,112,0,0.0000265717171

İkinci örnek diziyi açıklayan örnek çıktı IScale = sqrt(3):

8,30,200.2597744568315,199.1627304588310,20.9328464782995,115,21,0.0007529202390

İlk örnek diziyi test etmek için oktav kodu:

x = [112+0i, 97+56i, 56+97i, 0+112i, -56+97i, -97+56i, -112+0i, -97-56i, -56-97i, 0-112i, 56-97i, 97-56i];
abs(fft(x))
20*log10(abs(fft(x)(6)))-20*log10(abs(fft(x)(2)))

İkinci örnek diziyi test etmek için oktav kodu:

x = exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i);
y = real(x)/sqrt(3)+imag(x)*i;
z = (round(real(y))*sqrt(3)+round(imag(y))*i)/200.2597744568315;
#Error on IQ plane
star = z-exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i)/200.2597744568315;
scatter(real(star), imag(star));
#Magnitude of discrete Fourier transform
scatter((0:length(z)-1)*2*pi/30, 20*log10(abs(fft(z))/abs(fft(z)(2)))); ylim([-120, 0]);
#RMS error:
10*log10((sum(fft(z).*conj(fft(z)))-(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))/(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))